Question

Нужна ваща показать что векторы а1 а2 а3 образуют базис в r^3 и разложить вектор а4 по этому базису: a1(2; 1; 3), a2(-4; -2; -1) a3(3; 4; 5) a4(1; 3; 2)

Answer 1

Векторы а1 , а2 , а3 образуют базис, если определитель, составленный из координат этих векторов не равен 0.

$\Delta =\left|\begin{array}{ccc}2&1&3\\-4&-2&-1\\3&4&5\end{array}\right|=2(-10+4)-(-20+3)+3(-16+6)=-25\ne 0\\\\\\\vec{a}_4=\alpha \cdot \vec{a}_1+\beta \cdot \vec{a}_2+\gamma \cdot \vec{a}_3\; \; \; \Rightarrow \\\\\left\{\begin{array}{ccc}2\alpha -4\beta +3\gamma =1\\\alpha -2\beta +4\gamma =3\\3\alpha -\beta +5\gamma =2\end{array}\right \\\\\\\left(\begin{array}{ccc}1&-2&4\; |\; 3\\2&-4&3\; |\; 1\\3&-1&5\; |\; 2\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1&-2&4\; |\; 3\\0&0&-5\; |\; -5\\0&5&-7\; |-7\end{array}\right)\sim \; \left(\begin{array}{ccc}1&-2&4\; |\; 3\\0&5&-7\; |-7\\0&0&1\; |\; \; 1\end{array}\right)\; \; \; \Rightarrow$

$\gamma =1\\\\5\beta =-7+7\gamma=-7+7=0\; ,\; \; \beta =0\\\\\alpha =3+2\beta -4\gamma=3+0-4=-1\\\\\underline {\; \vec{a}_4=-\vec{a}_1+\vec{a}_3\; }$