Question

Вычислите сумму 1^2-2^2+3^2-+99^2-100^2+101^2

Answer 1

Формулы, использованные в ответе:

Формула сокращенного умножения $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

Формула суммы арифметической прогрессии $S_{n}=\frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}*n$

Формула нахождения разности в прогрессии $d=a_{n+1}-a_{n}$

Сгруппируем слагаемые:

$(1^2-2^2)+(3^2-4^2)+...+(99^2-100^2)+101^2=(1-2)(1+2)+(3-4)(3+4)+...+\\+(99-100)(99+100)+101^2$

Во всех слагаемых (кроме $101^{2}$) Первая скобка будет ровна "-1". Следовательно, "-1" можно вынести за скобки. А вторая скобка всегда возрастает на "4". Следовательно это арифметическая прогрессия с первым членом равным трём, и разностью 4.

$-1(3+7+11+15+...+199)+101^{2}$

Кол-во чисел в прогрессии равно 50 (чисел от 1 до 100-100, а так как у нас они расположены парами, то в два раза меньше-50)

Подставим в формулу суммы значения:

$S_{50}=\frac{2*3+4*49}{2}*50=(6+196)*25=5050$

Вся скобка ("(3+7+11+15+...+199)" равна 5050.

И тогда всё выражение равно:

$-1*5050+101^2=-5050+10201=5151$

ответ:  $5151.$