Question

Докажите, что для любого множества а верны равенства: а∪∅=∅, а∪∅=a, aꓵa=a, a∪a=a

Answer 1

Добрый день! Так как вы просите обстоятельный ответ с подробным объяснением, давайте рассмотрим каждое равенство по отдельности.

1. Докажем равенство a∪∅ = ∅.

Чтобы доказать это равенство, нужно вспомнить, что символ ∪ обозначает операцию объединения множеств. Из определения операции объединения следует, что объединение множества a с пустым множеством (∅) равно самому множеству a. Другими словами, при объединении любого множества с пустым множеством, оно остается неизменным.

2. Докажем равенство a∪∅ = a.

Это равенство следует из определения операции объединения множеств. Когда множество a объединяется с пустым множеством, результатом будет само множество a. При объединении с пустым множеством множество не изменяется, поэтому a∪∅ = a.

3. Докажем равенство aꓵa = a.

Здесь символ ꓵ обозначает операцию пересечения множеств. Для доказательства этого равенства можно использовать законы и свойства пересечения множеств. По определению операции пересечения, пересечение множества a с самим собой даст множество, содержащее все элементы, которые принадлежат и a, и a. Очевидно, что такое множество будет эквивалентно множеству a, поскольку оно содержит все элементы, которые принадлежат исходному множеству a. Таким образом, aꓵa = a.

4. Докажем равенство a∪a = a.

Опять же, это равенство следует из определения операции объединения множеств. При объединении множества с самим собой, результатом будет само множество. В данном случае, a∪a содержит все элементы, которые принадлежат исходному множеству a только один раз, поэтому a∪a будет эквивалентно множеству a.

Надеюсь, эти объяснения помогли вам понять, как доказать данные равенства. Если у вас есть еще вопросы или нужно более подробное объяснение, пожалуйста, спросите. Я готов помочь.

Answer 2

1) У вас, очевидно, опечатка - должно быть пересечение.

$A \cap \varnothing = \{ x \colon (x \in A) \wedge 0 \} = \{ x \colon 0 \} = \varnothing$

2) $A \cup \varnothing = \{ x \colon (x \in A) \vee 0 \} = \{ x \colon (x \in A) \} = A$

3) $A\cap A = \{ x \colon (x \in A) \wedge (x \in A) \} = \{ x \colon (x \in A)\} = A$

4) $A \cup A = \{ x \colon (x \in A) \vee (x \in A) \} = \{ x \colon (x \in A) \} = A$