Question

Постройте график функции y= |x |x- |x |-2x и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки

Answer 1

m= 0,25 и m = –2,25

Пошаговое объяснение:

Дана функция y=|x|·x–|x|–2·x.

1) x<0. Тогда левый кусок функции имеет вид:

y=|x|·x–|x|–2·x=–x·x–(–x)–2·x=–x²+x–2·x=–x²–x – это парабола, у которой ветви направлены вниз и с вершиной в точке

x= –(–1)/(2·(–1))= –0,5. Значение в вершине:

y(–0,5)= –(–0,5)²–(–0,5)=0,25.

Чтобы построит график определим значение функции в точке x=–1 и x=–2:

y(–1)= –(–1)²–(–1)=0; y(–2)= –(–2)²–(–2)=–2.

2) x≥0. Тогда правый кусок функции имеет вид:

y=|x|·x–|x|–2·x=x·x–x–2·x=x²–3·x – это парабола, у которой ветви направлены вверх и с вершиной в точке

x= –(–3)/(2·1)= 1,5. Значение в вершине:

y(1,5)= 1,5²–3·1,5= –2,25.

Чтобы построит график определим значение функции в точке x=0 и x=3:

y(0)= 0²–3·0=0; y(3)= 3²–3·3=0.

3) Построим график функций (см. рисунок). Тогда ответом будут  только: m= 0,25 и m = –2,25, то есть только прямые y= 0,25 и y= –2,25 имеют с графиком ровно две общие точки.  

При  –2,25<m<0,25 прямые y=m имеют с графиком ровно три общие точки, а при m<–2,25 или 0,25<m прямые y=m имеют с графиком ровно одну общую точку.