Question

Даны координаты вершин пирамиды: а=(2 3 2) в=( 3 0 2) с=(-2 2 3) d=(1 1 -2) найдите: а) угол между ребрами аd и гранью авс; б) расстояние от вершины а до прямой вс; в) уравнение высоты пирамиды,опущенной из вершины d; г) длину высоты пирамиды dh.

Answer 1

Даны координаты вершин пирамиды:  

А(2; 3; 2), В( 3; 0: 2), С(-2; 2; , D(1; 1; -2).

а) Угол между ребром АD и гранью АВС.

Вектор  АD(-1; -2; -4).

Находим уравнение плоскости грани АВС по координатам вершин.

Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - xA y - yA z - zA

xB - xA yB - yA zB - zA

xC - xA yC - yA zC - zA

 = 0

Подставим данные и упростим выражение:

х - 2         y - 3         z - 2

3 - 2 0 - 3 2 - 2

(-2) - 2 2 - 3 3 - 2

 = 0

x - 2      y - 3       z - 2

1         -3          0

-4             -1      1

 = 0

(x - 2)  -3·1-0·(-1)  -  (y - 3)  1·1-0·(-4)  +  (z - 2)  1·(-1)-(-3)·(-4)  = 0

(-3) x - 2  + (-1) y - 3  + (-13) z - 2  = 0

 - 3x - y - 13z + 35 = 0.

Угол между прямой   (x - 2)/(-1)  =   (y - 3)/(-2)  = (z - 2)/(-4)  и плоскостью

- 3x - y - 13z + 35 = 0

Направляющий вектор прямой имеет вид: s =  (-1; -2; -4).  

Вектор нормали плоскости имеет вид: q =  (-3; -1; -13).

Вычислив угол между векторами, найдем угол между прямой и плоскостью:

sin φ = |cos ψ| =   | s · q | | s |·| q |  =

=   | sx · qx + sy · qy + sz · qz | √(sx² + sy² + sz²) · √(qx² + qy² + qz²)  =

=   | (-3) · (-1) + (-1) · (-2) + (-13) · (-4) | √((-3)² + (-1)² + (-13)²) · √((-1)² + (-2)² + (-4)²) =  | 3 + 2 + 52 |/(√(9 + 1 + 169) · √(1 + 4 + 16))  =    57/(√179 · √2)  =

=   57 /√3759  =   19√3759 1253  ≈ 0.929691.

φ = 68.38672°.

б) Расстояние от вершины А до прямой ВС.

s =  -5; 2; 1    - направляющий вектор прямой ВС;

А =  3; 0; 2    - точка лежащая на прямой.

Уравнение ВС: (x - 3)/(-5) = (y - 0)/2 = (z - 2)/1

АB = {Ax - Bx; Ay - By; Az - Bz} =  (3 - 2; 0 - 3; 2 - 2)  = (1; -3; 0),  

Площадь параллелограмма лежащего на двух векторах AB и s:

S = |AB × s|

AB × s =  

i j k

1 -3 0

-5 2 1

 =

= i  -3·1 - 0·2  - j  1·1 - 0·(-5)  + k  1·2 - (-3)·(-5)  =

= i  -3 - 0  - j  1 - 0  + k  2 - 15  =

=  -3; -1; -13.

Зная площадь параллелограмма и длину стороны найдем высоту (расстояние от точки до прямой):

d =   |AB×s|/ |s|  =   √((-3)² + (-1)² + (-13)²)/√((-5)² + 2² + 1²)  =   √179 /√30  =     =   √5370/30  ≈ 2.44267.

в) Уравнение высоты пирамиды,опущенной из вершины D.

Общее уравнение прямой :

(x - xo)/m = (y - yo)/n = (z - zo)/l

xo, yo, zo - координаты какой-либо точки перпендикуляра, например D(1; 0; -2)

m, n, l - координаты направляющей искомой прямой (в данном случае координаты нашей нормали): q =  (-3; -1; -13).

Получаем (x -1)/(-3) = (y -0)/(-1) = (z + 2)/(-13).

г) Длина высоты пирамиды DH.

Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My; Mz) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0

используем формулу:d =   |A·Mx + B·My + C·Mz + D| /√(A² + B² + C²).  

Подставим в формулу данные:

d =   |-3·1 + (-1)·1 + (-13)·(-2) + 35|/√((-3)² + (-1)² + (-13)²)  =   |-3 - 1 + 26 + 35|/ √(9 + 1 + 169)  =    57 /√179  =   57√179/ 179  ≈ 4.26038.