Хорошо, давайте разберемся с этим вопросом по комплексным числам.
Для начала, мы должны подставить значение z=3+5i в выражение для w(z) и вычислить его. Давайте посмотрим на каждую часть выражения по отдельности.
Первый член выражения: z^2
Подставляем z=3+5i в это выражение:
(3+5i)^2 = (3+5i)(3+5i) = 3*3 + 3*5i + 5i*3 + 5i*5i = 9 + 15i + 15i - 25 = -16 + 30i
Второй член выражения: (z-i^3)(z+2)
Заметим, что i^3 = i*i*i = -i.
Подставляем z=3+5i в это выражение:
(3+5i-(-i))(3+5i+2) = (3+5i+i)(3+5i+2) = (3+6i)(5+5i) = 3*5 + 3*5i + 6i*5 + 6i*5i = 15 + 15i + 30i + 30i^2 = 15 + 45i - 30 + 30i = -15 + 75i
Третий член выражения: (z+2i)/(z-5i^4)
Заметим, что i^4 = i*i*i*i = -1.
Подставляем z=3+5i в это выражение:
(3+5i+2i)/(3+5i-5*(-1)) = (3+5i+2i)/(3+5i+5) = (3+7i)/(8+5i)
Теперь, мы можем подставить все значения обратно в исходное выражение w(z):
w(z) = -16 + 30i + (-15 + 75i) - (3+7i)/(8+5i)
Для удобства, давайте объединим все члены без i со всеми членами с i:
w(z) = (-16 - 15) + (30 + 75)i - (3+7i)/(8+5i)
Для удобства, давайте объединим все числители в одну дробь и все знаменатели в одну дробь:
w(z) = -31 + 105i - (59 + 41i) / 8 + 5i
Теперь, чтобы разделить комплексные числа, мы должны умножить числитель и знаменатель на сопряженное число (или сопряженное комплексное сопряженному числу).
Давайте найдем сопряженное число для 8+5i:
(8+5i)(8-5i) = 64 + 40i - 40i - 25i^2 = 64 + 25 = 89
Теперь, умножим числитель и знаменатель на (8-5i):
w(z) = -31 + 105i - (59 + 41i)(8-5i) / 89
Для начала, мы должны подставить значение z=3+5i в выражение для w(z) и вычислить его. Давайте посмотрим на каждую часть выражения по отдельности.
Первый член выражения: z^2
Подставляем z=3+5i в это выражение:
(3+5i)^2 = (3+5i)(3+5i) = 3*3 + 3*5i + 5i*3 + 5i*5i = 9 + 15i + 15i - 25 = -16 + 30i
Второй член выражения: (z-i^3)(z+2)
Заметим, что i^3 = i*i*i = -i.
Подставляем z=3+5i в это выражение:
(3+5i-(-i))(3+5i+2) = (3+5i+i)(3+5i+2) = (3+6i)(5+5i) = 3*5 + 3*5i + 6i*5 + 6i*5i = 15 + 15i + 30i + 30i^2 = 15 + 45i - 30 + 30i = -15 + 75i
Третий член выражения: (z+2i)/(z-5i^4)
Заметим, что i^4 = i*i*i*i = -1.
Подставляем z=3+5i в это выражение:
(3+5i+2i)/(3+5i-5*(-1)) = (3+5i+2i)/(3+5i+5) = (3+7i)/(8+5i)
Теперь, мы можем подставить все значения обратно в исходное выражение w(z):
w(z) = -16 + 30i + (-15 + 75i) - (3+7i)/(8+5i)
Для удобства, давайте объединим все члены без i со всеми членами с i:
w(z) = (-16 - 15) + (30 + 75)i - (3+7i)/(8+5i)
Продолжаем вычислять:
w(z) = -31 + 105i - ( (3+7i)(8-5i) ) / (8+5i)
Давайте раскроем скобки в последнем члене выражения:
w(z) = -31 + 105i - (24 - 15i + 56i + 35) / (8+5i)
Продолжаем вычислять:
w(z) = -31 + 105i - (59 + 41i) / (8+5i)
Для удобства, давайте объединим все числители в одну дробь и все знаменатели в одну дробь:
w(z) = -31 + 105i - (59 + 41i) / 8 + 5i
Теперь, чтобы разделить комплексные числа, мы должны умножить числитель и знаменатель на сопряженное число (или сопряженное комплексное сопряженному числу).
Давайте найдем сопряженное число для 8+5i:
(8+5i)(8-5i) = 64 + 40i - 40i - 25i^2 = 64 + 25 = 89
Теперь, умножим числитель и знаменатель на (8-5i):
w(z) = -31 + 105i - (59 + 41i)(8-5i) / 89
Раскроем скобки в числителе:
w(z) = -31 + 105i - (472 - 295i + 328i + 205i^2) / 89
Упростим это выражение:
w(z) = -31 + 105i - (472 + 33i) / 89
Вычислим числитель и знаменатель дроби в числе:
w(z) = -31 + 105i - 505 / 89 - 99i / 89
Объединим все числовые значения в одну дробь:
w(z) = (-31 - 505/89) + (105 - 99/89)i
Давайте найдем значение этой дроби:
w(z) = (-27754/89) + (8316/89)i
Переведем это значение в числовом виде:
w(z) ≈ -311.37 + 93.41i
Итак, значение w(z) ≈ -311.37 + 93.41i при заданном z = 3+5i.