Question

Установить, что векторы a{- 3; 1; 7}, b{9; -1; 0},c{- 2; 2; 1} образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе, если вектор d {2; 0; -2} .

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Базис - линейно независимая система. Так как матрица квадратная, то можно не преобразовывать ее по Гауссу, а просто посчитать детерминант.

$det\left[\begin{array}{ccc}-3&1&7\\9&-1&0\\-2&2&1\end{array}\right] = -3*-1*1 + 7*2*9+1*0*-2 - \\ \\ \\ - 7*-1*-2 - 2*0*-3 - 1 * 1*9 = 3+126-14-9 = 106 \neq 0$

Определитель не равен нулю, значит векторы линейно независимы, потому составляют базис.

Находим координаты вектора в базисе. Для этого нужно составить систему уравнений и записать ее в матрицу, где каждый вектор из базиса - столбик.

$\left[\begin{array}{cccc}-3&9&-2&| \ 2\\1&-1&2&| \ 0\\7&0&1&| \ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}0&6&4&| \ 2\\1&-1&2&| \ 0\\0&7&-13&| \ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}0&6&4&| \ 2\\1&-1&2&| \ 0\\0&1&-17&| \ 0\end{array}\right]=\\ \\ =\left[\begin{array}{cccc}0&6&4&| \ 2\\1&0&-15&| \ 0\\0&1&-17&| \ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}0&0&106&| \ 2\\1&0&-15&| \ 0\\0&1&-17&| \ 0\end{array}\right] =$

$=\left[\begin{array}{cccc}0&0&1&| \ 1/53\\1&0&0&| \ 15/53\\0&1&0&| \ 17/53\end{array}\right]$

Итого, координаты вектора [2, 0, -2] в данном базисе будут $(\frac{15}{53}, \frac{17}{53} , \frac{1}{53} )$