Question

Дана матрица a= 6 6 6 −6 −4 −1 6 4 1. выясните, какое из чисел λ=0 или λ=−8 является собственным числом матрицы а. найдите собственный вектор, отвечающий этому собственному числу. собственный вектор запишите в виде −3; p; q в ответ введите числа p и q, разделив их точкой с запятой.

Answer 1

Собственные числа находят из характеристического уравнения:

|A-λE|=0

$\begin{vmatrix} \begin{pmatrix}6&6&6\\-6&-4 &-1\\ 6&4&1\end{pmatrix} -\lambda \begin{pmatrix} 1&0&0\\0&1 &0 \\0&0 &1 \end{pmatrix}\end{vmatrix}=0 \\ \\ \\ \begin{vmatrix}6-\lambda &6 &6 \\ -6&-4-\lambda & -1\\ 6& 4 &1-\lambda\end{vmatrix}=0$

Проверяем будет ли -8 являться собственным числом данной матрицы:

$1) \lambda=-8 \\ \\ \begin{vmatrix}6+8 &6 &6 \\ -6&-4+8 & -1\\ 6&4 &1+8\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}14 &6 &6 \\-6&4&-1\\6& 4 &9\end{vmatrix}=14*4*9-6*4*6-6*1*6- \\ \\ -(6*4*6-6*6*9-14*4*1)=324+236=560\neq 0$

Определитель не равен нулю, следовательно -8 не является собственным числом матрицы А

Проверяем число 0

$2)\lambda=0\\ \\ \begin{vmatrix}6-\lambda &6 &6 \\-6&-4-\lambda & -1\\6&4&1-\lambda \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}6&6&6\\-6&-4&-1\\6&4&1 \end{vmatrix}=0$

(вторая строка определителя пропорционально третьей строке, поэтому этот определитель равен нулю)

значит λ=0 - собственное число матрицы А

теперь находим собственный вектор из матричного уравнения:

$\begin{pmatrix}6-\lambda &6 &6 \\ -6&-4-\lambda& -1\\ 6& 4 &1-\lambda\end{pmatrix}*\begin{pmatrix} x\\ y\\z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0 \\0 \end{pmatrix} \\ \\ \\ \begin{pmatrix}6 &6 &6 \\ -6&-4 & -1\\ 6& 4 &1\end{pmatrix}*\begin{pmatrix} x\\ y\\z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0 \\0 \end{pmatrix} \\ \\ \\$

$\left\{\begin{matrix} 6x+6y+6z=0 \ |:6\\ -6x-4y-z=0\\6x+4x+z=0 \ |*(-1)\end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix}x+y+z=0 \ \\ -6x-4y-z=0\\-6x-4x-z=0\end{matrix}\right. \ \ \\ \\ \\ \ \ \left\{\begin{matrix}x+y+z=0 \ \\ -6x-4y-z=0\end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix}y+z=-x \ \\ 6(y+z)-4y-z=0\end{matrix}\right. \\ \\ \left\{\begin{matrix}y+z=-x \ \\ 6y+6z-4y-z=0\end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix}y+z=-x \ \\2y=-5z\end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix}y+z=-x \ \\2y=-5z\end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix}-2.5z+z=-x \ \\y=-2,5z\end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix}x=1.5z\ \\y=-2.5z\end{matrix}\right.$

Собственный вектор будет иметь координаты:

$\vec{u}=(1.5z;-2.5z;z)$

Пусть z=-2, тогда

$\vec{u}=(-3;5;-2)$

ответ: 5;-2