Дифференциальное уравнение xdy - ydx = ydy означает, что мы должны найти функцию y(x), удовлетворяющую этому уравнению. Для решения этого уравнения мы будем использовать метод разделения переменных.
1. Разделим уравнение на y^2 и переместим все y-термы в одну часть уравнения, а x-термы - в другую:
(xdy - ydx)/y^2 = dy
2. Теперь мы можем разделить переменные, переместив y-термы в одну часть уравнения, а x-термы - в другую:
x/y^2 dy - dx/y^2 = dy
3. Проинтегрируем обе части уравнения по отдельности:
∫(x/y^2) dy - ∫dx/y^2 = ∫dy
Для удобства, мы можем заменить x/y^2 на u:
u = x/y^2
Тогда, du/dx = (1/y^2) dy/dx
Мы можем заменить ∫(x/y^2) dy на ∫u du/dx dx:
∫u du/dx dx - ∫dx/y^2 = ∫dy
Теперь можно проинтегрировать каждую часть по отдельности:
∫u du - ∫dx/y^2 = ∫dy
4. Проинтегрируем ∫u du:
(1/2)u^2 - ∫dx/y^2 = ∫dy
5. Проинтегрируем ∫dx/y^2:
∫dx/y^2 = 1/y
Так как ∫dy равно просто y:
(1/2)u^2 - 1/y = y + C
Здесь C - произвольная постоянная.
6. Подставим обратно u = x/y^2:
(1/2)(x/y^2)^2 - 1/y = y + C
(1/2)(x^2/y^4) - 1/y = y + C
7. Упростим уравнение:
(x^2/y^4) - 2/y^2 - 2y - C = 0
Мы можем заметить, что здесь нет явного решения. Это необходимо решить численными методами или использовать аналитическое приближение.
Таким образом, дифференциальное уравнение xdy - ydx = ydy приводит нас к уравнению (x^2/y^4) - 2/y^2 - 2y - C = 0, где C - произвольная постоянная.
1. Разделим уравнение на y^2 и переместим все y-термы в одну часть уравнения, а x-термы - в другую:
(xdy - ydx)/y^2 = dy
2. Теперь мы можем разделить переменные, переместив y-термы в одну часть уравнения, а x-термы - в другую:
x/y^2 dy - dx/y^2 = dy
3. Проинтегрируем обе части уравнения по отдельности:
∫(x/y^2) dy - ∫dx/y^2 = ∫dy
Для удобства, мы можем заменить x/y^2 на u:
u = x/y^2
Тогда, du/dx = (1/y^2) dy/dx
Мы можем заменить ∫(x/y^2) dy на ∫u du/dx dx:
∫u du/dx dx - ∫dx/y^2 = ∫dy
Теперь можно проинтегрировать каждую часть по отдельности:
∫u du - ∫dx/y^2 = ∫dy
4. Проинтегрируем ∫u du:
(1/2)u^2 - ∫dx/y^2 = ∫dy
5. Проинтегрируем ∫dx/y^2:
∫dx/y^2 = 1/y
Так как ∫dy равно просто y:
(1/2)u^2 - 1/y = y + C
Здесь C - произвольная постоянная.
6. Подставим обратно u = x/y^2:
(1/2)(x/y^2)^2 - 1/y = y + C
(1/2)(x^2/y^4) - 1/y = y + C
7. Упростим уравнение:
(x^2/y^4) - 2/y^2 - 2y - C = 0
Мы можем заметить, что здесь нет явного решения. Это необходимо решить численными методами или использовать аналитическое приближение.
Таким образом, дифференциальное уравнение xdy - ydx = ydy приводит нас к уравнению (x^2/y^4) - 2/y^2 - 2y - C = 0, где C - произвольная постоянная.