АТС имеет k линий связи. Поток вызовов - простейший с интенсивностью λ в минуту. Среднее время переговоров составляет t минут. Время переговоров имеет показательное распределение. Найти: а) вероятность того, что все линии связи заняты; б) относительную и абсолютную пропускные АТС; в) среднее число занятых линий связи. Определить оптимальное число линий связи, достаточное для того, чтобы вероятность отказа не превышала α.
k = 5; λ = 0.6; t = 3.5, α = 0.04.
Решение. Исчисляем показатели обслуживания многоканальной СМО:
Интенсивность потока обслуживания:
μ = 1/3.5 = 0.29
1. Интенсивность нагрузки.
ρ = λ • tобс = 0.6 • 3.5 = 2.1
Интенсивность нагрузки ρ=2.1 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.
3. Вероятность, что канал свободен (доля времени простоя каналов).

Следовательно, 13% в течение часа канал будет не занят, время простоя равно tпр = 7.5 мин.
Вероятность того, что обслуживанием:
занят 1 канал:
p1 = ρ1/1! p0 = 2.11/1! • 0.13 = 0.26
заняты 2 канала:
p2 = ρ2/2! p0 = 2.12/2! • 0.13 = 0.28
заняты 3 канала:
p3 = ρ3/3! p0 = 2.13/3! • 0.13 = 0.19
заняты 4 канала:
p4 = ρ4/4! p0 = 2.14/4! • 0.13 = 0.1
заняты 5 канала:
p5 = ρ5/5! p0 = 2.15/5! • 0.13 = 0.0425 (вероятность того, что все линии связи заняты)
4. Доля заявок, получивших отказ.

Значит, 4% из числа поступивших заявок не принимаются к обслуживанию.
5. Вероятность обслуживания поступающих заявок.
В системах с отказами события отказа и обслуживания составляют полную группу событий, поэтому:
pотк + pобс = 1
Относительная пропускная обс.
pобс = 1 - pотк = 1 - 0.0425 = 0.96
Следовательно, 96% из числа поступивших заявок будут обслужены. Приемлемый уровень обслуживания должен быть выше 90%.
6. Среднее число занятых линий связи
nз = ρ • pобс = 2.1 • 0.96 = 2.01 линии.
Среднее число простаивающих каналов.
nпр = n - nз = 5 - 2.01 = 3 канала.
7. Коэффициент занятости каналов обслуживанием.
K3 = n3/n = 2.01/5 = 0.4
Следовательно, система на 40% занята обслуживанием.
8. Абсолютная пропускная
A = pобс • λ = 0.96 • 0.6 = 0.57 заявок/мин.
9. Среднее время простоя СМО.
tпр = pотк • tобс = 0.0425 • 3.5 = 0.15 мин.
12. Среднее число обслуживаемых заявок.
Lобс = ρ • Q = 2.1 • 0.96 = 2.01 ед.
Для определения оптимального число линий связи, достаточное для того, чтобы вероятность отказа не превышала 0.04, воспользуемся формулой:

Для наших данных:

где 
Подбирая количество линий связей, находим, что при k=6, pотк = 0.0147 < 0.04, p0 = 0.12
Скачать решение
1. Коммерческая фирма занимается посреднической деятельностью по продаже автомобилей и осуществляет часть переговоров по 3 телефонным линиям. В среднем поступает 75 звонков в час. Среднее время предварительных переговоров справочного характера составляет 2 мин.
ответ : 690 км