Question

Найти значение параметра a, при котором сумма квадратов корней уравнения x2+(a−3)x−2+a=0 будет наименьшей.

Answer 1

$x^2+(a-3)x-2+a=0\\x^2+(a-3)x+(a-2)=0$

Используем теорему Виета:

$p=(a-3);\ q=a-2\\x_1+x_2=-p\\x_1*x_2=q\\x_1+x_2=3-a\\x_1*x_2=a-2\\(x_1+x_2)^2=(3-a)^2\\x_1^2+2x_1x_2+x_2^2=a^2-6a+9\\x_1^2+x_2^2=a^2-6a+9-2x_1x_2=a^2-6a+9-2(a-2)=a^2-8a+13$

Рассмотрим функцию $y=a^2-8a+13$

Графиком данной функции является парабола. Так как коэффициент перед квадратом положительный, то у параболы ветви направленны вверх, следовательно наименьшее значение функции будет в вершине.

ищем координаты вершины:

$a=\frac{8}{2}=4\\y=4^2-8*4+13=16-32+13=-3$

В итоге, при a=-3 сумма квадратов корней уравнения будет наименьшей.

ответ: -3