В равностороннем треугольнике ABC на сторонах AC и BC отметили точки D и E такие, что CD=2AD, BE=2CE. Обозначим точку пересечения отрезков AE и BD через F. Чему равен угол BFC?
Пошаговое объяснение:
1) Введем прямоугольную систему координат .Пусть АВ=ВС=АС=1. Пусть FC∩АВ=Р .Пусть ЕК⊥АС, ВН⊥АС, РМ⊥АС.
2) Определим координаты точек .
А(0;0) ,В( ;
) ,С(1;0) ,Н(0,5 ;0) ,D(
;0) ,К(
;0) , Е(
3)Найдем координаты направляющих векторов: DB( ;
) , РС(
;
).
4)Найдем скалярное произведение векторов .
DB *РС= *
+
*(
) =
⇒вектор DB⊥PC ⇒∠BFC=90°.
=======================================
Пояснения( жуткие вычисления , слабонервным можно не читать).
1) Координаты точки Е. ΔКСЕ прямоугольный .
КЕ=СЕ*sin60= *
.
КС=СЕ*cos60= =
, поэтому АК= 1-
→ Е(
;
) .
2)Координаты точки В. ΔАВН- прямоугольный .
АН=НС= .
ВН=АВ*sin60=1* =
3)Ищем координаты точки Р
а)ΔВDC , по т. Менелая ,
,
.
б)ΔАВD , по т. Менелая ,
,
,
AP= =
.
в)ΔАРМ прямоугольный .
РМ=АР*sin60= *
=
.
АМ=АР*cos60= =
→ P (
;
) .
ответ: 1) искомое время 1,2*2,5=3 часа
2) больших шоколадок можно купить 28/4=7 штук.
3) L=2*π*8,5=17*π дм.
4) S=π*9²=81*π см².
5) 125=х*(4+9+12)=25*х⇒х=125/25=5. Длины сторон 5*4=20 см, 5*9=45 см, 5*12=60 см. Проверка: 20+45+60=125 см - верно!
Пошаговое объяснение: