Question

Как это решить? 1.в прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 5 и 12 см. найти катеты треугольника.
2.найти диагональ и боковую сторону равнобедренной трапеции с основаниями 10 и 12 см, если известно, что центр описанной окружности лежит на большем основании трапеции.

Answer 1

Задача 1:

По рисунку видно, что ВС - гипотенуза.

ВК = 12см,   КС = 5 см, ОК = ОТ = ОР = радиусы.

Свойства описанного прямоугольного треугольника твердят, что (по рисунку)

а) РО = ОТ = РА = АТ , Получается квадрат АРОТ у котого все стороны равны;

б) РВ = ВК = 12 см

с)  КС = ТС = 5 см

Пусть АР = АТ = х см, тогда  АВ = 12 + х,     АС = х + 5,   ВС = 12 + 5 = 17 см

Используем теорему Пифагора:

ВС² = АВ² + АС²

17² = (12 + х)² + (х + 5)²

289 = 144 + 24х + х² + х² + 10х + 25

2х² + 34х  - 120 = 0 скоротим на 2

х² + 17х  - 60 = 0

ищем дискриминантом

Д = 289 + 240 = 529 = 23²

х1 = 3  

х2 = -20 - не удовлетворяет.

АВ = 12 + 3 =15см

АС = 3 + 5 = 8см

ответ: 15см, 8 см.

Задача 2:

Пусть АД - диаметр окружности, описанной около равнобелренной трапеции АБСД с основаниями АД = 12см и БС= 10 см.  СН - перпендикуляр, опущенный из вершины С на основание АД. Тогда:

АН=(АД+БС)/2= (12+10)/2=11 см

ДН=(АБ-БС)/2=(12-10)/2= 1 см

Точка С лежит на окружности с диаметром АД, значит угол АСД=90 градусов, поэтому СН высота прямоугольного треугольника АСД, проведенная из вершины прямого угла. Следовательно:

СД=ДН*АД=1*12=12см

АС=АН*АД=11*12=132 см

Пошаговое объяснение: