Математика: X^2-2x+8 построить график функции и описать её свойства

X^2-2x+8
построить график функции и описать её свойства

👇

Увидеть ответ

Ответ:

Denaz

30.12.2022

Пошаговое объяснение: (ответ Замятина - силой Разума).

ДАНО: Y(х) = -x² - 2*x + 8 - функция.

ДУМАЕМ:

1) Это уравнение второго порядка - парабола - a*x² + b*x + c.

2) Перед членом второй степени стоит знак МИНУС - ветви вниз.

3) Пересечение с осью ОУ - при х=0, у= 8. Точка А(0;8)

4) Пересечение с осью ОХ - у =0.

Решаем квадратное уравнение.

x² - 2*x +8 = 0 - уравнение.

D = b² - 4*a*c = (-2)² - 4*(-1)*8 = 4 + 32 = 36 - дискриминант

√D = √36 = 6.

Корни уравнения. х₁ = -4, х₂ = +2 - нули функции.

5) Экстремум - максимум функции - производная равна 0.

y'(x) = - 2*x - 2 = 0 при Хmax = - 1

ВНИМАНИЕ! У таких парабол вершина находится ровно посередине между нулями функции. Xmax = (-4 + 2)/2 = - 1 - без производной.

6) Максимум функции

Ymax(-1) = - (-1)² - 2*(-1) + 8 = 9 - максимум в точке (-1;9).

7) И теперь построение графика.

Рисунок с графиком в приложении.

Парабола симметрична относительно своего максимума и поэтому достаточно вычислить точки с одной стороны симметрии и повторить их с другой.

Вычисляем.

а) (-1;9) - максимум.

ВАЖНО около вершины.

б) (-1,5;8,75) и (-0,5;8,75)

в) (-2;8) и (0;8)

г) (-3;5) и (1;5)

д) (-4;0) и (2;0)

X^2-2x+8 построить график функции и описать её свойства

4,6(12 оценок)

Открыть все ответы

Ответ:

Ира2806

30.12.2022

Перепишем уравнения в цилиндрической системе координат: (x, y, z) меняются на (r, φ, z) по формулам x = r cos(φ - arctg 3/4), y = r sin(φ - arctg 3/4) – арктангенс возник из соображений удобства, чтобы третье уравнение выглядело поприличнее. Откуда отсчитывать углы, для нас не принципиально.

Первое уравнение:
$4=x^2+y^2=r^2\cos^2(\dots)+r^2\sin^2(\dots)=r^2\\
r=2$

Второе уравнение не меняется.

Третье уравнение:
$z=12-3x-4y=12-3r\cos\left(\varphi-\mathop{\mathrm{arctg}}\dfrac34\right)-4r\sin\left(\varphi-\mathop{\mathrm{arctg}}\dfrac34\right)=\\=12-3r\cdot\dfrac45\cos\varphi-3r\cdot\dfrac35\sin\varphi-4r\cdot\dfrac45\sin\varphi+4r\cdot\dfrac35\cos\varphi=\\=12-5r\sin\varphi$

Итак, уравнения поверхностей, ограничивающих тело, выписаны выше: r = 2, z = 1, z = 12 - 5r sin φ. Тело, которое они ограничивают, изображено на приложенном рисунке: это часть цилиндра, вырезанная двумя плоскостями.

Сформулируем условия в виде неравенств.
1 ≤ z ≤ 12 - 5r sin φ
0 ≤ φ ≤ 2π
0 ≤ r ≤ 2

Осталось вспомнить, что элемент объёма в цилиндрических координатах есть dV = r dr dφ dz, и вычислить интеграл:
$\displaystyle \iiint_VdV=\int_0^{2\pi}d\varphi\int_0^2r\,dr\int_1^{12-5r\sin\varphi}dz=\\=\int_0^{2\pi}d\varphi\int_0^2(11-5r\sin\varphi)r\,dr=2\pi\cdot22=44\pi$

ответ: 44π.

________________________________________

Для самопроверки получим этот ответ без интеграла.
Самая нижняя точка, в которой наклонная плоскость пересекает цилиндр, это z = 12 - 5 * 2 = 2, самая высокая – z = 12 + 5 * 2 = 22. Тогда объём равен сумме объёма цилиндра с высотой 2 - 1 = 1 и половины объёма цилиндра с высотой 22 - 2 = 20.
V = S * (h1 + h2 / 2) = 4π * (1 + 10) = 44π
Стройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями.