Для вычисления площади фигуры, ограниченной графиками функций, нам нужно:
1. Найти точки пересечения графиков функций.
2. Определить верхнюю и нижнюю границы для интегрирования.
3. Интегрировать функцию для нахождения площади.
Шаг 1: Найдем точки пересечения графиков функций.
Первый график задан уравнением x = 1/(y√(1+lny)), где y изменяется от 1 до e^3.
Второй график задан уравнением x = 0, что является вертикальной линией.
Для нахождения точек пересечения, приравняем уравнения и решим полученное уравнение:
1/(y√(1+lny)) = 0
Так как деление на ноль невозможно, уравнение не имеет решений. Это означает, что график функции x = 1/(y√(1+lny)) никогда не пересекает график функции x = 0.
Шаг 2: Определим верхнюю и нижнюю границы для интегрирования.
Наша фигура ограничена вертикальной линией x = 0 слева и графиком функции x = 1/(y√(1+lny)) справа. Аналогично, верхняя граница ограничена y = e^3 сверху и нижняя граница ограничена y = 1 снизу.
Шаг 3: Вычислим площадь с помощью интегрирования.
Интегрируем по переменной y, так как фигура ограничена вертикальными прямыми. Площадь s будет равна интегралу от x = 0 до x = 1/(y√(1+lny)) по переменной y, и внутри пределов интегрирования от y = 1 до y = e^3.
s = ∫[1 to e^3] 1/(y√(1+lny)) dy
Для решения этого интеграла нужно сделать замену переменной. Обозначим z = 1+lny. Тогда dz/dy = 1/y, и dy = dz/(1/y) = ydz.
Теперь интеграл можно переписать:
s = ∫[1 to e^3] 1/(y√(1+lny)) dy = ∫[1 to e^3] 1/(y√z) y dz
= ∫[1 to e^3] 1/√z dz
Раскроем интеграл и произведем последующие вычисления:
s = ∫[1 to e^3] 1/√z dz
= [2√z] [1 to e^3]
= 2(√e^3 - √1)
= 2(e^(3/2) - 1)
Значение площади равно 2(e^(3/2) - 1), что приближенно равно 19.17.
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиками функций x = 1/(y√(1+lny)), x = 0, y = 1 и y = e^3, равна приблизительно 19.17.
1. Найти точки пересечения графиков функций.
2. Определить верхнюю и нижнюю границы для интегрирования.
3. Интегрировать функцию для нахождения площади.
Шаг 1: Найдем точки пересечения графиков функций.
Первый график задан уравнением x = 1/(y√(1+lny)), где y изменяется от 1 до e^3.
Второй график задан уравнением x = 0, что является вертикальной линией.
Для нахождения точек пересечения, приравняем уравнения и решим полученное уравнение:
1/(y√(1+lny)) = 0
Так как деление на ноль невозможно, уравнение не имеет решений. Это означает, что график функции x = 1/(y√(1+lny)) никогда не пересекает график функции x = 0.
Шаг 2: Определим верхнюю и нижнюю границы для интегрирования.
Наша фигура ограничена вертикальной линией x = 0 слева и графиком функции x = 1/(y√(1+lny)) справа. Аналогично, верхняя граница ограничена y = e^3 сверху и нижняя граница ограничена y = 1 снизу.
Шаг 3: Вычислим площадь с помощью интегрирования.
Интегрируем по переменной y, так как фигура ограничена вертикальными прямыми. Площадь s будет равна интегралу от x = 0 до x = 1/(y√(1+lny)) по переменной y, и внутри пределов интегрирования от y = 1 до y = e^3.
s = ∫[1 to e^3] 1/(y√(1+lny)) dy
Для решения этого интеграла нужно сделать замену переменной. Обозначим z = 1+lny. Тогда dz/dy = 1/y, и dy = dz/(1/y) = ydz.
Теперь интеграл можно переписать:
s = ∫[1 to e^3] 1/(y√(1+lny)) dy = ∫[1 to e^3] 1/(y√z) y dz
= ∫[1 to e^3] 1/√z dz
Раскроем интеграл и произведем последующие вычисления:
s = ∫[1 to e^3] 1/√z dz
= [2√z] [1 to e^3]
= 2(√e^3 - √1)
= 2(e^(3/2) - 1)
Значение площади равно 2(e^(3/2) - 1), что приближенно равно 19.17.
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиками функций x = 1/(y√(1+lny)), x = 0, y = 1 и y = e^3, равна приблизительно 19.17.