Получаем AOC=2ABC=2B=AEC=AFC как вписанные углы опирающийся на одну и туже дугу . Тогда CEB=180-AEC=180-2ABC , значит треугольник BEC равнобедренный и BE=EC , аналогично AF=BF . По теореме о секущих BE*AB=BF*BC Тогда AB=BC*BF/BE По условию S(BEF) = S(AEFC) Выразим через стороны S(EBF) = BE*BF*sin2B/2 , S(AECF) = S(ABC)-S(BEF) = BF*BC^2/BE * sinB/2 . Приравнивая получаем BC=BE*sqrt(2) AB=BF*sqrt(2) Учитывая то что треугольник BEC равнобедренный , получаем по теореме косинусов 2BE^2(1+cos2B)=2BE^2 cos2B=0 B=45 гр .
A + b/a = b + a/b В левой и правой частях приведём к общему знаменателю: (a^2 + b)/a = (b^2 + a)/b Левую и правую части умножим на ab: b (a^2 + b) = a (b^2 + a); Раскроем скобки: b * a^2 + b^2 = a * b^2 + a^2 Перегруппируем: b * a^2 - a * b^2 = a^2 - b^2 В левой части вынесем за скобки ab, в правой разложим на множители разность квадратов: ab (a - b) = (a - b) (a + b) Сократим на (a - b) при a ≠ b, что как раз и требует условие: ab = a + b В целых числах выполняется при a = b = 2, но нам не подходит по условию. Кстати, при a = b = 1, выражение a +b/a = b + a/b истинно. Из ab = a + b выразим a: ab - a = b; a(b - 1) = b; a = b / (b-1) При любых b≠1 последнее выражение является решением. Подставляя вместо b любые значение (b≠1, естесственно), найдём соответствующее значение для a.
Для примера, пусть b = 5, тогда a = 5/4. Проверяем a + b/a = 5/4 + 5/(5/4) = 5/4 + 4 = 5 + 1/4 b + a/b = 5 + (5/4)/5 = 5 + 1/4 Всё верно.
Тогда CEB=180-AEC=180-2ABC , значит треугольник BEC равнобедренный и BE=EC , аналогично AF=BF .
По теореме о секущих
BE*AB=BF*BC
Тогда AB=BC*BF/BE
По условию S(BEF) = S(AEFC) Выразим через стороны S(EBF) = BE*BF*sin2B/2 , S(AECF) = S(ABC)-S(BEF) = BF*BC^2/BE * sinB/2 .
Приравнивая получаем
BC=BE*sqrt(2)
AB=BF*sqrt(2)
Учитывая то что треугольник BEC равнобедренный , получаем по теореме косинусов
2BE^2(1+cos2B)=2BE^2
cos2B=0
B=45 гр .