Question

Разложите по формуле бинома ньютона:
а) (x-1)^5
б) (х+2)^4

Answer 1

Добро пожаловать в наш класс! Сегодня мы разберем, как разложить выражение по формуле бинома Ньютона. Начнем с первого вопроса:

а) (x-1)^5

Формула бинома Ньютона выглядит так: (a + b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + C(n, 2) * a^(n-2) * b^2 + ... + C(n, n-1) * a^1 * b^(n-1) + C(n, n) * a^0 * b^n

где C(n, k) - биномиальный коэффициент, равный n! / (k! * (n-k)!), где ! обозначает факториал.

В нашем случае, a = x, b = -1 и n = 5. Давайте разложим (x-1)^5 по формуле бинома Ньютона:

(x-1)^5 = C(5, 0) * x^5 * (-1)^0 + C(5, 1) * x^4 * (-1)^1 + C(5, 2) * x^3 * (-1)^2 + C(5, 3) * x^2 * (-1)^3 + C(5, 4) * x^1 * (-1)^4 + C(5, 5) * x^0 * (-1)^5

Теперь вычислим значения биномиальных коэффициентов:

C(5, 0) = 5! / (0! * (5-0)!) = 1
C(5, 1) = 5! / (1! * (5-1)!) = 5
C(5, 2) = 5! / (2! * (5-2)!) = 10
C(5, 3) = 5! / (3! * (5-3)!) = 10
C(5, 4) = 5! / (4! * (5-4)!) = 5
C(5, 5) = 5! / (5! * (5-5)!) = 1

Теперь заменяем эти значения обратно в формулу:

(x-1)^5 = 1 * x^5 * (-1)^0 + 5 * x^4 * (-1)^1 + 10 * x^3 * (-1)^2 + 10 * x^2 * (-1)^3 + 5 * x^1 * (-1)^4 + 1 * x^0 * (-1)^5

(x-1)^5 = x^5 - 5x^4 + 10x^3 - 10x^2 + 5x - 1

Таким образом, мы получаем разложение выражения (x-1)^5 по формуле бинома Ньютона.

Теперь переходим ко второму вопросу:

б) (х+2)^4

Применяем ту же формулу, где a = x, b = 2 и n = 4:

(x+2)^4 = C(4, 0) * x^4 * 2^0 + C(4, 1) * x^3 * 2^1 + C(4, 2) * x^2 * 2^2 + C(4, 3) * x^1 * 2^3 + C(4, 4) * x^0 * 2^4

Вычисляем биномиальные коэффициенты:

C(4, 0) = 4! / (0! * (4-0)!) = 1
C(4, 1) = 4! / (1! * (4-1)!) = 4
C(4, 2) = 4! / (2! * (4-2)!) = 6
C(4, 3) = 4! / (3! * (4-3)!) = 4
C(4, 4) = 4! / (4! * (4-4)!) = 1

Заменяем значения в формулу:

(x+2)^4 = 1 * x^4 * 2^0 + 4 * x^3 * 2^1 + 6 * x^2 * 2^2 + 4 * x^1 * 2^3 + 1 * x^0 * 2^4

(x+2)^4 = x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16

Таким образом, мы получаем разложение выражения (x+2)^4 по формуле бинома Ньютона.