Для решения данной задачи, нам необходимо найти уравнение нормали к функции y = arctg(1+x) в точке x = 0. Перед тем, как мы приступим к решению, давайте сначала поймем, что такое нормаль к кривой.
Нормаль - это прямая, перпендикулярная касательной к кривой в определенной точке. Касательная к кривой - это прямая, которая касается кривой только в данной точке и имеет тот же наклон, что и кривая в этой точке.
Теперь давайте решим задачу.
Шаг 1: Найдем производную функции y = arctg(1+x).
Для нахождения производной этой функции, мы будем использовать известное правило: производная arc(tg(x)) равна 1 / (1 + x^2). Используя это правило, получаем:
y' = 1 / (1 + (1 + x)^2)
Шаг 2: Найдем значение производной в точке x = 0.
Подставим x = 0 в полученное выражение для производной:
Таким образом, значение производной в точке x = 0 равно 1/2.
Шаг 3: Найдем наклон касательной и его перпендикулярный наклон (нормаль).
Так как нормаля перпендикулярна к касательной, ее наклон будет противоположным по знаку и равным -2 (произведение наклонов нормали и касательной всегда равно -1).
Шаг 4: Найдем точку, к которой будет проведена нормаль.
Мы уже знаем, что нам нужно найти нормаль в точке x = 0. Подставляем это значение в исходную функцию:
y = arctg(1 + 0)
y = arctg(1)
y = π/4 (примерное значение)
Таким образом, точка, в которой проведется нормаль, будет (0, π/4).
Шаг 5: Запишем уравнение нормали, используя найденные данные.
Мы знаем, что нормаль имеет наклон -2 и проходит через точку (0, π/4). Используя уравнение прямой y = mx + c, где m - наклон, а c - точка пересечения с осью ординат, подставим известные значения:
π/4 = -2 * 0 + c
π/4 = c
Таким образом, значение c равно π/4.
Итак, уравнение нормали к линии y = arctg(1+x) в точке x = 0 будет:
y = -2x + π/4
Надеюсь, это решение помогло вам понять, как найти уравнение нормали к функции. Если у вас остались вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их. Удачи вам в учебе!
Для решения данной задачи, нам необходимо найти уравнение нормали к функции y = arctg(1+x) в точке x = 0. Перед тем, как мы приступим к решению, давайте сначала поймем, что такое нормаль к кривой.
Нормаль - это прямая, перпендикулярная касательной к кривой в определенной точке. Касательная к кривой - это прямая, которая касается кривой только в данной точке и имеет тот же наклон, что и кривая в этой точке.
Теперь давайте решим задачу.
Шаг 1: Найдем производную функции y = arctg(1+x).
Для нахождения производной этой функции, мы будем использовать известное правило: производная arc(tg(x)) равна 1 / (1 + x^2). Используя это правило, получаем:
y' = 1 / (1 + (1 + x)^2)
Шаг 2: Найдем значение производной в точке x = 0.
Подставим x = 0 в полученное выражение для производной:
y'(0) = 1 / (1 + (1 + 0)^2)
y'(0) = 1 / (1 + 1^2)
y'(0) = 1 / (1 + 1)
y'(0) = 1 / 2
Таким образом, значение производной в точке x = 0 равно 1/2.
Шаг 3: Найдем наклон касательной и его перпендикулярный наклон (нормаль).
Так как нормаля перпендикулярна к касательной, ее наклон будет противоположным по знаку и равным -2 (произведение наклонов нормали и касательной всегда равно -1).
Шаг 4: Найдем точку, к которой будет проведена нормаль.
Мы уже знаем, что нам нужно найти нормаль в точке x = 0. Подставляем это значение в исходную функцию:
y = arctg(1 + 0)
y = arctg(1)
y = π/4 (примерное значение)
Таким образом, точка, в которой проведется нормаль, будет (0, π/4).
Шаг 5: Запишем уравнение нормали, используя найденные данные.
Мы знаем, что нормаль имеет наклон -2 и проходит через точку (0, π/4). Используя уравнение прямой y = mx + c, где m - наклон, а c - точка пересечения с осью ординат, подставим известные значения:
π/4 = -2 * 0 + c
π/4 = c
Таким образом, значение c равно π/4.
Итак, уравнение нормали к линии y = arctg(1+x) в точке x = 0 будет:
y = -2x + π/4
Надеюсь, это решение помогло вам понять, как найти уравнение нормали к функции. Если у вас остались вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их. Удачи вам в учебе!