Question

Вклетки таблицы n×n можно записать натуральные числа так, чтобы сумма всех чисел таблицы была четной, а сумма чисел в любом квадрате 2×2 – нечетной. верно ли это при: 1) n = 3, 2) n = 4, 3) n = 5, 4) n = 6? сколько раз вы ответили «да»?

Answer 1

Доброго времени суток! Разберем каждую часть вопроса по порядку.

1) Для случая n = 3. Давайте запишем числа в клетках таблицы:

1 2 3
4 5 6
7 8 9

Сумма всех чисел равна 1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45, что является нечетным числом.

Проверим условие для квадрата 2×2, например, в верхнем левом углу:

1+2+4+5 = 12, что является четным числом.

Таким образом, данная таблица не удовлетворяет обоим условиям. Мы ответим "нет".

2) Для случая n = 4. Запишем числа в клетках таблицы:

1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16

Сумма всех чисел равна 1+2+3+...+16 = 136, что является четным числом.

Проверим условие для квадратов 2×2. Возьмем какой-нибудь квадрат, например, верхний левый:

1+2+5+6 = 14, что является четным числом.

Условие выполняется! Таблица с n=4 удовлетворяет обоим условиям. Мы ответим "да".

3) Для случая n = 5. Запишем числа в клетках таблицы:

1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
21 22 23 24 25

Сумма всех чисел равна 1+2+3+...+25 = 325, что является нечетным числом.

Проверим условие для квадратов 2×2. Возьмем какой-нибудь квадрат, например, левый нижний:

16+17+21+22 = 76, что является четным числом.

Условие выполняется! Таблица с n=5 удовлетворяет обоим условиям. Мы ответим "да".

4) Для случая n = 6. Запишем числа в клетках таблицы:

1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36

Сумма всех чисел равна 1+2+3+...+36 = 666, что является четным числом.

Проверим условие для квадратов 2×2. Возьмем какой-нибудь квадрат, например, правый нижний:

29+30+35+36 = 130, что является четным числом.

Условие выполняется! Таблица с n=6 удовлетворяет обоим условиям. Мы ответим "да".

Таким образом, ответы на каждую часть вопроса:

1) Нет
2) Да
3) Да
4) Да

Мы ответили "да" три раза.