ответ: a ∈ (-∞; 0)∪{81}
Пошаговое объяснение: ОДЗ: x ≥ 0
С учетом ОДЗ уравнение всегда имеет как минимум один корень - решение уравнения √x - 9 = 0 ⇔ √х = 9 ⇒ x = 81.
Однако при некоторых значениях а уравнение может иметь и другой корень - решение уравнения х - а = 0 ⇒ х = а. Это возможно в том случае, если этот корень удовлетворяет ОДЗ, т.е. есть х ≥ 0 ⇒ a ≥ 0. Но может случиться так, что корни совпадут (и в первой скобке, и во второй корнем будет х = 81), и в итоге у нас все так же будет одно решение.
Поэтому уравнение может иметь единственное решение только в двух случаях:
1) уравнения х - а = 0 и √x - 9 = 0 имеют одинаковое решение - х = 81. Этому случаю соответствует значение а = 81.
2) если уравнение х - а = 0 имеет решения, которые не удовлетворяют ОДЗ, т.е. такие, при которых x выходит < 0 (в этом случае уравнение не будет иметь смысла из за того, что под корнем будет отрицательное число). Этому случаю соответсвуют все значения а < 0.
Итого: a ∈ (-∞; 0)∪{81}.
х-2≠0
х≠2
Область определения D(f)=(-∞;2)∪(2;∞).
б) f(x)=√(x-3)+√(2-x)
Подкоренное выражение не может быть отрицательным, поэтому надо найти те х, при которых подкоренное выражение >0
x-3≥0 x≥3
2-x≥0 x≤2
Видим, что х не может быть одновременно больше 3 и меньше 2, для этой функции нет области определения.
в) f(x)=√(1-4x-5x^2)
Как и в предыдущем примере подкоренное выражение не может быть отрицательным, поэтому можем записать
1-4x-5x^2≥0
Решаем квадратное уравнение
-5x^2-4x+1
Находим дискриминант
D=b^2-4ac=(-4)^2-4*(-5)*1=16+20=36
Ищем корни
x₁=(-b-√D)/2a=(4-6)/-10=1/5
x₂=(-b+√D)/2a=(4+6)/-10=-1
То есть парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, а ветви её смотрят вниз (а=-5<0), значит подкоренное выражение >0 на промежутке [-1;1/5]
Область определения D(f)=[-1;1/5].