Question

Последовательность (an) задана формулой an=7n+2. докажите что последовательность (an) возрастающая

Answer 1

Чтобы доказать, что последовательность (an) возрастающая, нам нужно проверить, что каждый следующий член последовательности больше предыдущего.

Для начала, давайте найдем первые несколько членов последовательности (an).

Когда n=1, a1=7*(1)+2=7+2=9.
Когда n=2, a2=7*(2)+2=14+2=16.
Когда n=3, a3=7*(3)+2=21+2=23.

Теперь, давайте возьмем два произвольных члена последовательности и сравним их между собой.

Пусть n=k и n=k+1, где k - любое натуральное число.

Тогда, ak=7k+2 и ak+1=7(k+1)+2.

Мы хотим доказать, что ak
Подставим значения ak и ak+1 в неравенство и сравним их:

7k+2<7(k+1)+2.

Раскроем скобки и упростим выражение:

7k+2<7k+7+2.

Упрощаем:

7k+2<7k+9.

Теперь вычтем 7k из обеих частей неравенства, чтобы они сократились:

2<9.

Так как 2 меньше 9, это неравенство верно для любого натурального числа k.

Таким образом, последовательность (an) возрастающая, так как каждый следующий член больше предыдущего.

Это и есть формальное доказательство того, что последовательность (an) возрастающая.