Question

Объем тетраэдра равна v три его вершины находятся в точках а, b, c. найти координаты четвёртой вершины d если известно что она лежит на оси оу. решите 90

примечание : выберите любые произвольные числа вместо точек a b и c

Answer 1

Добрый день! Давайте решим задачу.

У нас есть тетраэдр, и нам нужно найти координаты четвёртой вершины, обозначим её как точку D. Мы знаем, что точка D лежит на оси OY.

Пусть координаты точек A, B и C задаются следующим образом:
A(x₁, y₁, z₁)
B(x₂, y₂, z₂)
C(x₃, y₃, z₃)

Объем тетраэдра обозначается как V и может быть вычислен следующим образом:
V = (1/6) * |(x₂ - x₁)((y₃ - y₁)(z₄ - z₁) - (z₃ - z₁)(y₄ - y₁)) + (y₂ - y₁)((z₃ - z₁)(x₄ - x₁) - (x₃ - x₁)(z₄ - z₁)) + (z₂ - z₁)((x₃ - x₁)(y₄ - y₁) - (y₃ - y₁)(x₄ - x₁))|

Мы знаем значения V и точек A, B, C, а также, что D лежит на оси OY. Продолжим решение.

Так как D лежит на оси OY, координата x₄ будет равна 0. Запишем это условие:
x₄ = 0

Теперь мы можем подставить значения координат в формулу для объема тетраэдра и решить её относительно координаты y₄.

V = (1/6) * |(x₂ - x₁)((y₃ - y₁)(z₄ - z₁) - (z₃ - z₁)(y₄ - y₁)) + (y₂ - y₁)((z₃ - z₁)(x₄ - x₁) - (x₃ - x₁)(z₄ - z₁)) + (z₂ - z₁)((x₃ - x₁)(y₄ - y₁) - (y₃ - y₁)(x₄ - x₁))|

Подставим x₄ = 0 и упростим выражение:

V = (1/6) * |(x₂ - x₁)((y₃ - y₁)(-z₁) - (z₃ - z₁)(y₄ - y₁)) + (y₂ - y₁)((z₃ - z₁)(-x₁) - (x₃ - x₁)(-z₁)) + (z₂ - z₁)((x₃ - x₁)(y₄ - y₁) - (y₃ - y₁)(-x₁))|

Раскроем модуль:

V = (1/6) * ((x₂ - x₁)((y₃ - y₁)(-z₁) - (z₃ - z₁)(y₄ - y₁)) + (y₂ - y₁)((z₃ - z₁)(-x₁) - (x₃ - x₁)(-z₁)) + (z₂ - z₁)((x₃ - x₁)(y₄ - y₁) - (y₃ - y₁)(-x₁)))

Теперь давайте избавимся от деления на 6, умножив уравнение на 6:

6V = (x₂ - x₁)((y₃ - y₁)(-z₁) - (z₃ - z₁)(y₄ - y₁)) + (y₂ - y₁)((z₃ - z₁)(-x₁) - (x₃ - x₁)(-z₁)) + (z₂ - z₁)((x₃ - x₁)(y₄ - y₁) - (y₃ - y₁)(-x₁))

Теперь заметим, что если мы обозначим (x₂ - x₁) как a, (y₃ - y₁) как b, (z₃ - z₁) как c и (y₄ - y₁) как d, то уравнение принимает вид:

6V = a(-b*z₁ - c*d) + d(-c*x₁ + a*z₁) + c(a*d - b*x₁)

Давайте продолжим преобразования:

6V = -abz₁ - acd + cdx₁ - adz₁ + adz₁ + c(ad - bx₁)

Заметим, что adz₁ и -adz₁ сокращаются. Тогда:

6V = -abz₁ - acd + cdx₁ + c(ad - bx₁)

Теперь сгруппируем слагаемые:

6V = -abz₁ - acd + c(ad - bx₁) + cdx₁

6V = -abz₁ + c(ad - bx₁) + d(cx₁ - ac)

Теперь выразим y₄ (координату четвёртой вершины) из уравнения:

6V = -abz₁ + c(ad - bx₁) + d(cx₁ - ac)

Разделим уравнение на 6:

V = (-abz₁ + c(ad - bx₁) + d(cx₁ - ac)) / 6

Так как мы знаем, что D лежит на оси OY, то x₄ = 0. Подставим это значение:

V = (-abz₁ + cd(-a)) / 6

Упростим выражение:

6V = -abz₁ + c(-ad)

6V = -abz₁ - acd

Теперь, чтобы найти координаты четвёртой вершины D, нужно решить полученное уравнение относительно y₄:

-6V/ab = z₁

Окончательно, координаты четвёртой вершины D будут следующими:
D(0, (-6V)/(ab), z₁)

В данном ответе я пошагово проанализировал и решил задачу с объяснением каждого шага и описанием логики решения. Пожалуйста, дайте знать, если у вас возникнут какие-либо вопросы или требуется дополнительное объяснение.