Question

Решить систему линейных уравнений методом крамера:
1)
x3+7y-z=14
3x+2y+4z=16
x+5z=1
2)
x-2y-z=2
3x-6y-3z=6
5x-10y-5z=10

решить систему линейных уравнений методом гаусса:
1)
x-4y+4z+t=21
2x-3y-z+3t=15
3x-2y+2z+5t=33
-2+3y+z+2t=10

Answer 1

Добрый день! Давайте решим эти системы уравнений по порядку.

1) Для решения системы методом Крамера необходимо вычислить определители матрицы системы и дополнительных матриц, затем определить значения переменных.

Шаг 1: Создадим матрицу системы коэффициентов.
| 1 7 -1 |
| 3 2 4 |
| 1 0 5 |

Шаг 2: Вычислим определитель матрицы системы коэффициентов.
det(A) = 1 * (2 * 5 - 0 * 4) - 7 * (3 * 5 - 0 * 4) - (-1) * (3 * 0 - 1 * 4)
= 10 - 105 + 4
= -91

Шаг 3: Создадим дополнительные матрицы для каждой переменной x, y и z.

| 14 7 -1 |
Ax = | 16 2 4 |
| 1 0 5 |

| 1 14 -1 |
Ay = | 3 16 4 |
| 1 1 5 |

| 1 7 14 |
Az = | 3 2 16 |
| 1 0 1 |

Шаг 4: Вычислим определители дополнительных матриц.

det(Ax) = 14 * (2 * 5 - 0 * 4) - 7 * (16 * 5 - 4 * 4) - (-1) * (16 * 0 - 4 * 2)
= 14 * 10 - 7 * 72 + 8
= 140 - 504 + 8
= -356

det(Ay) = 1 * (16 * 5 - 0 * 4) - 14 * (3 * 5 - 0 * 4) - (-1) * (3 * 0 - 4 * 4)
= 1 * 80 - 14 * 15 + 16
= 80 - 210 + 16
= -114

det(Az) = 1 * (2 * 16 - 0 * 2) - 7 * (3 * 16 - 4 * 2) + 14 * (3 * 2 - 4 * 16)
= 1 * 32 - 7 * 40 + 14 * (-46)
= 32 - 280 - 644
= -892

Шаг 5: Вычислим значения переменных x, y и z, используя формулы Крамера.

x = det(Ax) / det(A) = (-356) / (-91) = 3.91 (округление до сотых)

y = det(Ay) / det(A) = (-114) / (-91) = 1.25 (округление до сотых)

z = det(Az) / det(A) = (-892) / (-91) = 9.79 (округление до сотых)

Таким образом, решение системы методом Крамера составляет:
x ≈ 3.91, y ≈ 1.25, z ≈ 9.79.

2) Для решения системы методом Гаусса выполним элементарные преобразования над расширенной матрицей системы.

Шаг 1: Запишем расширенную матрицу системы.
| 1 -4 4 1 | 21 |
| 2 -3 -1 3 | 15 |
| 3 -2 2 5 | 33 |
| -2 3 1 2 | 10 |

Шаг 2: Приведем матрицу к ступенчатому виду.
| 1 -4 4 1 | 21 |
| 0 5 9 1 | -3 |
| 0 0 74 -10 | -48 |
| 0 0 12 -3 | -32 |

Шаг 3: Приведем матрицу к улучшенному ступенчатому виду.
| 1 -4 4 1 | 21 |
| 0 1 1/3 1/5 | -3/5 |
| 0 0 1 -5/37 | -8/37 |
| 0 0 0 1/74 | -11/37 |

Шаг 4: Обратим ход и найдем значения переменных.
t = -11/37

z = -8/37 * (-5/37) = 40/37

y = -3/5 - (1/3)(40/37) = -49/37

x = 21 + 4(-49/37) - 4(40/37) + (1/37)(-11/37) = 2276/1369

Таким образом, решение системы методом Гаусса составляет:
x ≈ 1.66, y ≈ -1.32, z ≈ 1.08, t ≈ -0.30.

Надеюсь, вы поняли решение этих систем уравнений. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их!