Добрый день! Давайте разберем по очереди каждое задание:
1) Для нахождения производной функции y=7x^3 - tg2x + 3^x необходимо применить правило дифференцирования для каждого слагаемого.
Первое слагаемое: 7x^3. У него есть степень, поэтому мы можем использовать правило степенной функции. Если имеем функцию вида y = ax^n, то производная будет равна y' = nax^(n-1). Применим это правило:
y' = 3 * 7x^(3-1) = 21x^2.
Второе слагаемое: -tg2x. Здесь нам понадобится правило дифференцирования тангенса функции ф(x). Если имеем функцию y = tg(f(x)), то производная будет равна y' = f'(x) * (1 + tg^2(f(x))). Правило, которое мы здесь использовали, называется производной композиции. Применим это правило:
y' = 2 * (1 + tg^2(2x)).
Третье слагаемое: 3^x. Тут мы снова применим правило степенной функции:
y' = 3^x * ln(3).
Теперь сложим результаты для каждого слагаемого, чтобы найти производную функции y:
y' = 21x^2 + 2 * (1 + tg^2(2x)) + 3^x * ln(3).
2) Имеем функцию y = (3x^2 - 5x - 8) * sqrt(4x). Для нахождения производной нужно применить правило произведения двух функций.
Первое слагаемое: 3x^2 - 5x - 8. Производная будет равна y' = 6x - 5.
Второе слагаемое: sqrt(4x). Здесь нам понадобится использовать правило производной корня функции. Если имеем функцию y = sqrt(f(x)), то производная будет равна y' = f'(x) / (2 * sqrt(f(x))). Применим это правило:
y' = (2 / (2 * sqrt(4x))) = 1 / sqrt(4x) = 1 / (2 * sqrt(x)) = 1 / (2sqrt(x)).
3) Функция f(x) = (x^2 + x - 2) / (x - 1). Для нахождения производной нужно применить правило дифференцирования частного двух функций.
Числитель: x^2 + x - 2. Производная будет равна y' = 2x + 1.
Знаменатель: x - 1. Здесь нужно применить правило дифференцирования линейной функции. Если имеем функцию y = ax + b, то производная будет равна y' = a. Применим это правило:
y' = 1.
Теперь используем формулу для нахождения производной частного двух функций:
y' = (2x + 1)(x - 1) - (x^2 + x - 2) * 1 / (x - 1)^2 = (2x + 1)(x - 1) - (x^2 + x - 2) / (x - 1)^2.
4) Функция y = sqrt(2x^3 + 7x^2 + 5) * ln(3x). Для нахождения производной нужно применить правило дифференцирования произведения двух функций.
Первое слагаемое: sqrt(2x^3 + 7x^2 + 5). Производная будет равна y' = (1 / (2sqrt(2x^3 + 7x^2 + 5))) * (6x^2 + 14x).
Второе слагаемое: ln(3x). Здесь нужно использовать правило дифференцирования натурального логарифма функции. Если имеем функцию y = ln(f(x)), то производная будет равна y' = f'(x) / f(x). Применим это правило:
y' = (1 / (3x)) * (3).
5) Функция y = ln^4(5x^3 - 2x + 6). Для нахождения производной нужно применить правило дифференцирования композиции функций.
Функция возводит логарифм в 4-ую степень, поэтому можно представить ее как (ln(5x^3 - 2x + 6))^4. Используем правило дифференцирования степенной функции:
y' = 4(ln(5x^3 - 2x + 6))^3 * (1 / (5x^3 - 2x + 6)) * (15x^2 - 2).
6) Функция y = (ctg(2x))^ln(4x). Тут также нужно применить правило дифференцирования композиции функций.
Первое слагаемое: ctg(2x). Производная будет равна y' = -1 / (sin^2(2x)).
Второе слагаемое: ln(4x). В этом случае нужно использовать правило дифференцирования натурального логарифма функции. Если имеем функцию y = ln(f(x)), то производная будет равна y' = f'(x) / f(x). Применим это правило:
y' = (1 / (4x)) * (4).
Для решения данной задачи, мы можем использовать принципы комбинаторики.
Первым шагом мы рассмотрим случай, когда мы удаляем число из последовательности 1 2 3 4 5 6 и оставшиеся числа должны быть упорядочены по возрастанию. Затем рассмотрим случай, когда оставшиеся числа должны быть упорядочены по убыванию.
1) Упорядоченные по возрастанию числа:
Для того чтобы найти количество перестановок, мы рассмотрим, сколько возможных мест может занимать удаляемое число.
Перестановку чисел 1 2 3 4 5 6 мы можем представить в виде строки: 123456.
Если мы удалим число 1, то оставшиеся числа должны быть упорядочены по возрастанию. То есть, оставшиеся числа могут занимать следующие позиции в строке:
_23456 (1 может занимать любое из 6 возможных мест).
Если мы удалим число 2, то оставшиеся числа должны быть упорядочены по возрастанию. То есть, оставшиеся числа могут занимать следующие позиции в строке:
1_3456 (2 может занимать 5 возможных мест, так как оно не может стоять перед 1).
Продолжая этот анализ, мы получим следующую таблицу:
| Место для удаления числа | Количество возможных мест, где могло быть удалено число |
|-------------------------|--------------------------------------------------------|
| 1 | 6 |
| 2 | 5 |
| 3 | 4 |
| 4 | 3 |
| 5 | 2 |
| 6 | 1 |
Таким образом, общее количество перестановок, где можно удалить одно число так, чтобы оставшиеся числа были упорядочены по возрастанию, равно сумме всех возможных вариантов удаления чисел: 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21.
2) Упорядоченные по убыванию числа:
Также рассмотрим случай, когда оставшиеся числа должны быть упорядочены по убыванию. Здесь принцип анализа будет аналогичным, только мы будем рассматривать возможные места для удаления чисел, начиная с конца строки.
Таблица изменится следующим образом:
| Место для удаления числа | Количество возможных мест, где могло быть удалено число |
|-------------------------|--------------------------------------------------------|
| 6 | 6 |
| 5 | 5 |
| 4 | 4 |
| 3 | 3 |
| 2 | 2 |
| 1 | 1 |
Общее количество перестановок, где можно удалить одно число так, чтобы оставшиеся числа были упорядочены по убыванию, равно сумме всех возможных вариантов удаления чисел: 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21.
Таким образом, общее количество перестановок, где можно удалить одно число так, чтобы оставшиеся числа были упорядочены по возрастанию или по убыванию, равно сумме количества перестановок для возрастания и для убывания: 21 + 21 = 42.
Итак, ответ на задачу: количество перестановок чисел 1 2 3 4 5 6, из которых можно удалить одно число так, чтобы оставшиеся были упорядочены по возрастанию или по убыванию, равно 42.
D = b² - 4ac
В нашем случае а=1, b=3а, с=a²+1
D = (3а)² - 4(a²+1) = 9a² - 4a² - 4 = 5a²-4
х1 = [-3а+√(5a²-4)]/2
х2 = [-3а-√(5a²-4)]/2
Положим х1>1, а х2<1
1) [-3а+√(5a²-4)]/2>1
-3а+√(5a²-4)>2
√(5a²-4) > 2+3а
Возведем в квадрат обе части неравенства:
5a²-4 > (2+3а)²
5а²-4 > 4+12а+9а²
9а²-5а²+12а+8 < 0
4а²+12а+8 < 0
Разделим обе части на 4:
а²+3а+2 < 0
а1=[-3+√(3•3-4•2)]/2 = [-3+√(9-8)]/2=(-3+1)/2=-1
а2=[-3-√(3•3-4•2)]/2 = [-3-√(9-8)]/2=(-3-1)/2=-2
(а+1)(а+2)<0
а+1<0, а<-1
а+2>0, а>-2
Или
а+1>0, а>-1
а+2<0, а<-2
следовательно, -2>а>-1
2) [-3а-√(5a²-4)]/2>1
-3а-√(5a²-4)>2
√(5a²-4) < -(2+3а)
Возведем в квадрат обе части неравенства:
5a²-4 < (2+3а)²
5а²-4 < 4+12а+9а²
9а²-5а²+12а+8 > 0
4а²+12а+8 > 0
Разделим обе части на 4:
а²+3а+2 > 0
а1=[-3+√(3•3-4•2)]/2 = [-3+√(9-8)]/2=(-3+1)/2=-1
а2=[-3-√(3•3-4•2)]/2 = [-3-√(9-8)]/2=(-3-1)/2=-2
(а+1)(а+2)>0
а+1>0, а>-1
а+2>0, а>-2
Следовательно, а>-1
Или
а+1<0, а<-1
а+2<0, а<-2
Следовательно, а<-2