ответ:Докажем от противного. Предположим, что никто не решил не более 4 задач. По условию количество учеников решивших по 2, по 3 и по 4 задач не менее одного. Так как по условию количество учащихся 14, то количество учеников решивших по 2, по 3 и по 4 задач не более 12 (=14-1-1). Введём обозначения:
x - количество решивших 2 задачи (1≤x≤12), y - количество решивших 3 задачи (1≤y≤12), z - количество решивших 4 задачи (1≤z≤12).
По условию количество учащихся 14, то есть x+y+z=14.
Главное условие задачи: все ученики вместе решили 58 задач, и поэтому должен быть справедливо равенство
2·x+3·y+4·z=58
для некоторых значений x, y и z.
Так как все числа натуральные, то наибольшее значение выражение получим, если z принимает наибольшее значение, то есть z=12. Но тогда x=1, y=1 и:
2·1+3·1+4·12=2+3+48=53<58.
Последнее противоречить главному условию задачи.
Отсюда следует, что некоторые из участников олимпиады решили не менее 5 задач.
Найдём количество учеников решивших определённое количество задач.
Пусть теперь x - количество решивших 2 задачи (1≤x≤11), y - количество решивших 3 задачи (1≤y≤11), z - количество решивших 4 задачи (1≤z≤11), t - количество решивших 5 задач (1≤t≤11).
По условию количество учащихся 14, то есть x+y+z+t=14.
Главное условие задачи: все ученики вместе решили 58 задач, и поэтому должен быть справедливо равенство
2·x+3·y+4·z+5·t=58
для некоторых значений x, y, z и t.
Если x=3, y=1, z=1 и t=9, то получаем нужный результат:
2·3+3·1+4·1+5·9=58!
Пошаговое объяснение:
Дана система 4x^2-xy=2; x^2+y^2=5
Используем подстановки.
Из второго уравнения находим х = +-√(5 - у²).
Подставляем в первое уравнение.
4(5 - у²) - у*(+-√(5 - у²)) = 2,
20 - 4у² - 2 = +-√(5 - у²),
18 - 4у² = +-√(5 - у²), возведём в квадрат обе части.
324 - 144у² + 16у⁴ = у²(5 - у²), приведём подобные.
17у⁴ - 149у² + 324 = 0 получили биквадратное уравнение, делаем замену: у² = t.
Получаем квадратное уравнение 17t² - 144t + 324 = 0.
Ищем дискриминант:
D=(-149)^2-4*17*324=22201-4*17*324=22201-68*324=22201-22032=169;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
t_1=(√169-(-149))/(2*17)=(13-(-149))/(2*17)=(13+149)/(2*17)=162/(2*17)=162/34=81/17,
t_2=(-√169-(-149))/(2*17)=(-13-(-149))/(2*17)=(-13+149)/(2*17)=136/(2*17)=136/34=4.
Обратная замена у1,2 = +-√(81/17) = +-9/√17,
у3,4 = +-√4 = +-2.
Подставим эти значения в любое из заданных уравнений и получаем значения: х1,2 = +- 2/√17,
х3,4 = +-1.