ответ: -∞.
Пошаговое объяснение:
Обозначим g(x)=e^(1/x)-1 и h(x)=arctg(x²)-π/2. По правилу Лопиталя, lim (x⇒∞) g(x)/h(x)=lim (x⇒∞) g'(x)/h'(x). Так как g'(x)=-1/x²*e^(1/x), а h'(x)=2*x/(1+x⁴), то g'(x)/h'(x)=-e^(1/x)*(1+x⁴)/(2*x³). Так как предел первого множителя при x⇒∞ равен -1, то искомый предел равен пределу дроби (1+x⁴)/(2*x³), взятому с обратным знаком. Разделив числитель и знаменатель дроби на x³, получим выражение (1/x³+x)/2. Очевидно, что предел этого выражения при x⇒∞ равен (0+∞)/2=∞, а потому искомый предел равен -∞.
ответ: 1) -1; 2) 1.
Объяснение:
1) При x⇒0 выражение в скобках представляет собой неопределённость вида ∞-∞. Приводя обе дроби к общему знаменателю, получаем в скобках выражение -sin²(x)/[x*(x+sin²(x))]=-sin(x)/x*sin(x)/[x+sin²(x)]. Предел первого множителя есть ни что иное, как взятый со знаком "минус" первый замечательный предел, поэтому предел этого множителя равен -1. Ко второму множителю sin(x)/[x+sin²(x)] применим правило Лопиталя. Находя производные числителя и знаменателя, получаем выражение cos(x)/[1+2*sin(x)*cos(x)]=cos(x)/[1+sin(2*x)]. Предел этого выражения при x⇒0 равен 1, поэтому искомый предел равен -1*1=-1.
2) Выражение, предел которого нужно найти, при x⇒+0 представляет собой неопределённость вида ∞⁰. Так как при x⇒0 бесконечно малые величины sin(x) и x эквивалентны, то при вычислении предела можно заменить одну на другую. В данном случае заменим sin(x) на x, и тогда выражение, предел которого нужно найти, примет вид y=(1/x)ˣ. Взяв натуральный логарифм от этого выражения, получим выражение z=x*ln(1/x)=ln(1/x)/[1/x]. Полагая теперь 1/x=t, получим выражение z=ln(t)/t. Так как при x⇒0+ t⇒∞, то это выражение представляет собой неопределённость вида ∞/∞, для раскрытия которой применим правило Лопиталя. Производная числителя [ln(t)]'=1/t, производная знаменателя t'=1, поэтому предел выражения lim[ln(t)/t]=lim(z) при t⇒∞ равен 0/1=0. А так как z=ln(y), то lim(z)=ln[lim(y)], откуда lim(y)=e^lim(z)=e^0=1.
Пошаговое объяснение:
Чтобы найти НОК нескольких чисел, надо разложить эти числа на простые множители и найти произведение ВСЕХ простых множителей, взятых с НАИБОЛЬШИМ показателем степени.
m = 2² · 3 = 12 и n = 2 · 3 · 5 = 30
НОК (m и n) = 2² · 3 · 5 = 60 - наименьшее общее кратное
60 : 12 = 5 и 60 : 30 = 2
- - - - - - - - - - - - - - - - - - -
с = 3 · 5 = 15 и d = 3² · 5 = 45
НОК (с и d) = 3² · 5 = 45 - наименьшее общее кратное
45 : 15 = 3 и 45 : 45 = 1
- - - - - - - - - - - - - - - - - - -
х = 2² · 3 · 5 = 60 и у = 2 · 3² · 5 = 90
НОК (х и у) = 2² · 3² · 5 = 180 - наименьшее общее кратное
180 : 60 = 3 и 180 : 90 = 2
Чтобы найти НОД нескольких чисел, надо разложить эти числа на простые множители и найти произведение их СОВМЕСТНЫХ простых множителей, взятых с НАИМЕНЬШИМ показателем степени.
m = 2² · 3 = 12 и n = 2 · 3 · 5 = 30
НОД (m и n) = 2 · 3 = 6 - наибольший общий делитель
12 : 6 = 2 и 30 : 6 = 5
- - - - - - - - - - - - - - - - -
с = 3 · 5 = 15 и d = 3² · 5 = 45
НОД (с и d) = 3 · 5 = 15 - наибольший общий делитель
15 : 15 = 1 и 45 : 15 = 3
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
х = 2² · 3 · 5 = 60 и у = 2 · 3² · 5 = 90
НОД (х и у) = 2 · 3 · 5 = 30 - наибольший общий делитель
60 : 30 = 2 и 90 : 30 = 3
рррррроолдтрргоорпшл