Дано : А1(0;5;0), А2(2;3;-4), А3(0;0;-6), А4(-3;1;-1), a1 {1; -3; 12 } і a2 {12; 2; 0}.
1. Скласти рівняння площини, яка проходить через точку А1 перпендикулярно вектору А1А2 .
Находим вектор А1А2.
А1А2 = (2-0; 3-5; -4-0) = (2; -2; -4).
Вектор А1А2, перпендикулярный к искомой плоскости, является её нормальным вектором.
По этому вектору (2; -2; -4) и точке А1(0; 5; 0) составляем у равнение плоскости по формуле A·(x–xo)+B·(y–yo)+C·(z–zo)=0.
2*x + (-2)*(y – 5) + (-4)*z = 0.
2x – 2y – 4z + 10 = 0 или, сократив на 2:
x – y – 2z + 5 = 0.
2. Скласти рівняння площини, яка проходить через точки А1 і А2 паралельно вектору a1.
Пусть точка М(x; y; z) расположена в искомой плоскости β . Тогда в плоскости β расположены векторы А1M(x; y - 5; z) ; А1А2(2; -2; -4) и вектор a1(1;- 3; 12).
По условию компланарности смешанное произведение этих трёх векторов должно равняться 0.
Находим смешанное произведение:
| x y - 5 z |
| 2 -2 -4 | = 0 . Решаем эту матрицу по
| 1 -3 12 | схеме Саррюса.
| x y - 5 z | x y - 5
| 2 -2 -4 | 2 -2
| 1 -3 12 | 1 -3 =
=x*(-24) + (y – 5)*(-4) + z*(-6) – (y – 5)*24 – x*12 – z*(-2) =
= -24x – 4y + 20 - 6z – 24y + 120 - 12x + 2z =
= -36x – 28y - 4z + 140 = 0, после сокращения на -4 получаем:
9x + 7y + z – 35 = 0. Это искомое уравнение плоскости.
3. Скласти рівняння площини, яка проходить через точку А2 паралельно векторам a1(1; -3; 12) і a2(12; 2; 0).
Векторы а1 и а2 можно разместить в искомой плоскости. Тогда они будут направляющими векторами этой плоскости (при условии их неколлинеарности).
Тогда нормаль к искомой плоскости получим как векторное произведение её направляющих векторов.
I j k| I j
1 -3 12| 1 -3
12 2 0| 12 2 = 0i + 144j + 2k – 0j – 24i + 36k = -24i + 144j + 38k.
Получили нормальный вектор плоскости (-24; 144; 38).
Примем коллинеарный ему вектор с к = -2: (12; -72; -19)
Уравнение плоскости, проходящей через точку Mo(xo;yo;zo) с нормальным вектором n=(A;B;C) имеет вид A·(x–xo)+B·(y–yo)+C·(z–zo)=0.
Подставим данные: А2(2; 3; -4), n = (12; -72; -19).
12·(x – 2) + (-72)· (y – 3) + (-19)·(z + 4) = 0.
12x - 24 - 72y + 216 - 19z – 76 = 0.
12х - 72y - 19z + 116=0.
О т в е т. 12х - 72y - 19z + 116 = 0.
4. Скласти рівняння площини, яка проходить через три точки А1, А2, А3.
Для составления уравнения плоскости по трём точкам используем формулу:
x - xA y - yA z - zA
xB - xA yB - yA zB - zA
xC - xA yC - yA zC - zA = 0
Подставим данные и упростим выражение: А1(0;5;0), А2(2;3;-4), А3(0;0;-6).
x - 0 y – 5 z - 0
2 - 0 3 – 5 (-4) - 0
0 - 0 0 – 5 -6 - 0 = 0
x - 0 y – 5 z - 0
2 -2 -4
0 -5 -6 = 0
(x – 0)(-2·(-6)-(-4)·(-5)) – (y – 5)(2·(-6)-(-4)·0) + (z – 0)(2·(-5)-(-2)·0) = 0
(-8)(x – 0) + 12(y – 5) + (-10)(z – 0) = 0
- 8x + 12y - 10z - 60 = 0
4x - 6y + 5z + 30 = 0
ответ: уравнение плоскости 4x - 6y + 5z + 30 = 0.
5. Обчислити відстань d від точки А4 до площини (А1А2А3).
Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My; Mz) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 используем формулу:
d = |A·Mx + B·My + C·Mz + D|/√A2 + B2 + C2
Подставим в формулу данные:
А4(-3;,1;-1), нормальный вектор плоскости А1А2А3 равен (4; -6; 5) по п.4) .
d = |4·(-3) + (-6)·1 + 5·(-1) + 30|/√42 + (-6)2 + 52 =
= |-12 - 6 - 5 + 30|/√16 + 36 + 25 =
= 7/√77 = √77/11 ≈ 0,07977.
6. Скласти рівняння площини, яка проходить через точку А4 паралельно до площини ( А1А2А3 ) .
Используем формулу A·(x–xo)+B·(y–yo)+C·(z–zo)=0.
Так как искомая плоскость параллельна плоскости А1А2А3,то её нормальный вектор совпадает с нормальным вектором плоскости А1А2А3, координаты которого определены в пункте 4) и равны (4; -6; 5), точка А4(-3;1;-1).
Получаем 4(x + 3) – 6(y – 1) + 5(z + 1) = 0.
4x + 12 – 6y + 6 + 5z + 5 = 0.
4x – 6y + 5z + 23 = 0.
7. Обчислити кут між площинами x - 2y + 3z + 5 = 0 і А1А2А3.
Уравнение плоскости А1А2А3по пункту 4 равно 4x - 6y + 5z + 30 = 0.
Угол между плоскостями x - 2y + 3z + 5 = 0 и 4x - 6y + 5z + 30 = 0
определяем по формуле:
cos α = |A1·A2 + B1·B2 + C1·C2|/(√(A12 + B12 + C12) *√(A22 + B22 + C22)).
Подставляем координаты векторов:
cos α = |1·4 + (-2)·(-6) + 3·5|/(√(12 + (-2)2 + 32) *√(42 + (-6)2 + 52))=
= |4 + 12 + 15|/(√(1 + 4 + 9) *√(16 + 36 + 25)) =
= 31/(√14* √77) = 31/√1078 = 31√22154 ≈ 0,94417.
α = 19,2351°
Задача имеет 2 решения:
1 вариант решения - основание больше боковой стороны треугольника;
2 вариант решения - основание меньше боковой стороны треугольника.
33 + 42 = 75 (см) - периметр треугольника.
Пусть х см - основание треугольника,
тогда ((75 - х) : 2) см - боковая сторона,
а ((75 - х) : 4) см - 1/2 боковой стороны.
1 вариант решения:
х + (75 - х) : 4 = 42
4х + 75 - х = 42 * 4
3х + 75 = 168
3х = 168 - 75
3х = 93
х = 93 : 3
х = 31 (см) - основание.
(75 - 31) : 2 = 22 (см) - боковая сторона.
ответ: 31 см - основание;
22 см - боковая сторона.
2 вариант решения:
х + (75 - х) : 4 = 33
4х + 75 - х = 33 * 4
3х + 75 = 132
3х = 132 - 75
3х = 57
х = 57 : 3
х = 19 (см) - основание.
(75 - 19) : 2 = 28 (см) - боковая сторона.
ответ: 19 см - основание;
28 см - боковая сторона.
Дано: ABC - треугольник.
P(△ABC) = 36 см,
AB=BC,
BD - медиана,
BD = 6 см.
Найти: P(△ABD).
Решение.
т.к. △ABC - равнобедренный, то BD - медиана, биссектриса и высота.
Если BD - медиана, то AD=DC; если BD - высота, то ∠BDA=∠BDC=90°; если BD - биссектриса, то ∠ABD=∠CBD.
Т.к. AD=DC, ∠BDA=∠BDC, ∠ABD=∠CBD и BD - общая сторона, то △ABD=△BDC по | и || признаку, значит P(△ABD)=(P(△ABC):2)+BD=(36:2)+6=18 + 6 = 24 (см).
ответ: 24 см.