Найдем в тексте грамматические основы (подлежащее (П) и сказуемое(С)): 1) Мягко улыбаясь, ЧЕХОВ (П) ГОВОРИЛ (С) друзьям, что НЕБО (П) БУДЕТ В АЛМАЗАХ (С) и что скоро ВСЕ (П) ПЕРЕМЕНИТСЯ (С).
2) И ЖЕНА (П) его СПРОСИЛА (С), что за подвиг СОВЕРШИЛ (С), чем в бою ОН (П) ОТЛИЧАЛСЯ (С), как награду ЗАСЛУЖИЛ (С).
3) Настоящая ЖИЗНЬ (П) жизнь книги НАЧИНАЕТСЯ (С) тогда, когда ЗАКРЫТА (С) последняя СТРАНИЦА (П) и ГЕРОИ (П) ПРОДОЛЖАЮТ ЖИТЬ (С) уже в читателе, становясь его незримыми друзьями или врагами.
Зададим вопрос от главного предложения к придаточному:
1) [Мягко улыбаясь, Чехов говорил друзьям], (1) →говорил что?→(что небо будет в алмазах) (2) и →говорил что?→(что скоро все переменится) (3). [...] - главное (1); (...) - придаточные (2),(3).
2) [И жена его спросила], (1)→спросила о чем?→ (что за подвиг совершил) (2), →спросила о чем?→(чем в бою он отличился),(3)→спросила о чем?→( как награду заслужил) (4). [...] - главное (1); (...) - придаточные (2),(3), (4).
3) [Настоящая жизнь книги начинается тогда], (1)→начинается когда?→(когда закрыта последняя страница) (2) и →начинается когда?→(герои продолжают жить уже в читателе, становясь его незримыми друзьями или врагами)(3). [...] - главное (1); (...) - придаточные (2),(3).
Вывод: Это сложноподчиненные предложения с однородным подчинением придаточных предложений.
Просвечивает-несовершенного вида. Про-(приставка, -СВЕЧ-(корень), -ИВА-(суффикс), -ЕТ (окончание).
Называют-несовершенного вида. На-(приставка), -зыв-(корень), -а-(суффикс),-ют(окончание.
Догорают-несовершенного вида. До-(приставка),-гор-(корень),-а-(суффикс), -ют(окончание).
Сохнет-несовершенного вида. СОХН-корень, -ет(окончание).
Потрескивает-несовершенного вида. ПО-(приставка), -ТРЕСК-(корень), -ива-(суффикс), -ет(окончание).
Грызут-несовершенного вида. Грыз-(корень), -ут(окончание).
Молчит-несовершенного вида. Молч-(корень), -ит(окончание).
Звучит-несовершенного вида. Звуч-(корень), -ит(окончание).
Висит-несовершенного вида. Вис-(корень), -ит(окончание).
Будет освещать-несовершенного вида . Вс глагол будущего времени.
Ползут-несовершенного вида. Полз-(корень), -ут(окончание)