ответ 1)
Архимед, родившийся в Сиракузах и живший в эпоху Пунических войн, желая освободить родной город от завоевателей, изобрёл военные машины невиданной силы.
В случаях 1, 3, 4 запятыми выделяются деепричастные и причастные обороты.
недавно - наречие пишется слитно, если употребляется со словами меры степени. Перед словом недавно стояло слово "сравнительно".
не объяснённые - "не" с причастием пишется раздельно если полное причастие имеет зависимые слова (как правило, существительные или местоимения), образует причастный оборот - не объяснённые (чем?) наукой.
нередко - слово можно заменить синонимом часто. Отдельно писали бы, если бы было противопоставление (не редко, а часто).
небольших - можно заменить синонимом маленьких.
не зависимый - тут ошибка. Это не противопоставление, нет соседствующих отрицательных слов и нет слов "далеко", "вовсе", "отнюдь". Должно писаться независимый.
не проявляющиеся - "не" с причастием пишется раздельно если полное причастие имеет зависимые слова (как правило, существительные или местоимения), образует причастный оборот - не проявляющиеся (у кого?) у них качества.
не группа - слитно такого слова "негруппа" просто не существует.
небольших - см. выше такое же слово.
невероятная - "не" пишется с прилагательными слитно, если НЕ служит для образования нового прилагательного, которое можно заменить близким по смыслу словом или выражением: (невероятная-противоестественная).
не повторяют - не с глаголами за редким исключением пишется раздельно.
не копируют - не с глаголами за редким исключением пишется раздельно.
необычайное - слова "обычайное" не существует. Есть слово обычная. Поэтому это относится к тем случаям, когда без "не" слово не пишется.
Причастные обороты: пока не объяснённые наукой таинственные особенности (особенности определяемое слово) животных (животных определяемое слово), живущих большими скоплениями, животные демонстрируют ранее не проявляющиеся у них качества (качества определяемое слово), сверхорганизм (сверхорганизм - определяющее слово), живущий по своим законам
недавно - наречие пишется слитно, если употребляется со словами меры степени. Перед словом недавно стояло слово "сравнительно".
не объяснённые - "не" с причастием пишется раздельно если полное причастие имеет зависимые слова (как правило, существительные или местоимения), образует причастный оборот - не объяснённые (чем?) наукой.
нередко - слово можно заменить синонимом часто. Отдельно писали бы, если бы было противопоставление (не редко, а часто).
небольших - можно заменить синонимом маленьких.
не зависимый - тут ошибка. Это не противопоставление, нет соседствующих отрицательных слов и нет слов "далеко", "вовсе", "отнюдь". Должно писаться независимый.
не проявляющиеся - "не" с причастием пишется раздельно если полное причастие имеет зависимые слова (как правило, существительные или местоимения), образует причастный оборот - не проявляющиеся (у кого?) у них качества.
не группа - слитно такого слова "негруппа" просто не существует.
небольших - см. выше такое же слово.
невероятная - "не" пишется с прилагательными слитно, если НЕ служит для образования нового прилагательного, которое можно заменить близким по смыслу словом или выражением: (невероятная-противоестественная).
не повторяют - не с глаголами за редким исключением пишется раздельно.
не копируют - не с глаголами за редким исключением пишется раздельно.
необычайное - слова "обычайное" не существует. Есть слово обычная. Поэтому это относится к тем случаям, когда без "не" слово не пишется.
Причастные обороты: пока не объяснённые наукой таинственные особенности (особенности определяемое слово) животных (животных определяемое слово), живущих большими скоплениями, животные демонстрируют ранее не проявляющиеся у них качества (качества определяемое слово), сверхорганизм (сверхорганизм - определяющее слово), живущий по своим законам
Архимед, родившийся в Сиракузах и живший в эпоху Пунических войн, жилая освободить родной город от завоевателей, изобрёл военные машины невиданной силы.
ответ: 1) 1, 3, 4