Бродить по старинному замку ( по какому?- старинному, прилагательное, пишется раздельно).
Нарядиться по-старинному ( как?- по-старинному, приставка по- и суффикс –ому, наречие, поэтому через дефис).
Идти по прежнему пути ( по какому?- прежнему, прилагательное, поэтому раздельно).
Жить по-прежнему ( как?- по-прежнему, приставка по- и суффикс –ему, наречие, пишется через дефис).
Говорить по другому вопросу ( по какому?- другому, прилагательное, пишется раздельно).
Переделать по-другому ( как?- по-другому, приставка по- и суффикс –ому, наречие, пишется через дефис).
По осеннему небу плывут облака ( по какому?- осеннему, прилагательное, пишется раздельно).
Сегодня по-осеннему зябко и сыро ( как?- по-осеннему, приставка по- и суффикс –ему, наречие, пишем через дефис).
По нашему двору ( по чьему?- по нашему, прилагательное, пишем раздельно).
Вышло по-нашему ( как?- по-нашему, приставка по- и суффикс –ему, наречие, пишем через дефис).
Объяснение:
Удачи в учёбе)