Нужно осторожно продвигаясь вперёд искать.
Сказуемое "нужно искать" - составное глагольное.
Объяснение:
Составное глагольное сказуемое состоит из вс слова (выражает грамматическое значение) и неопределённой формы глагола (выражает лексическое значение).
В роли вс глагола выступают:
1. глаголы, обозначающие начало, продолжение и конец действия (начать, закончить, продолжить и т.п.)
Например: Я начал учить английский язык.
2. модальные глаголы (хотеть, мочь, желать и т.д.)
Например: Я хочу учить английский язык.
3. глаголы, выражающие эмоциональное состояние/чувства (любить, бояться, стесняться и т.д.)
Например: Я стесняюсь спросить...
4. безличные глаголы типа следует, требуется и т.п.
Например: Тебе следует лучше учить английский язык.
5. слова состояния можно, нельзя, надо.
6. КРАТКОЕ ИМЯ ПРИЛАГАТЕЛЬНОЕ
Например: Нужно учить английский язык.
