Бежать → быстро перемещаться, передвигаться.
Мчаться → быстро бежать, передвигаться с большой скоростью. Дополнительное значение: спешить.
Слова "бежать" и "мчаться" синонимы со значеним "быстро передвигаться", если их поменять в предложениях - смысл останется тем же:
1. Много я часов мчался, и наконец, устав, прилёг между высоких трав. (М. Лермонтов.) 2. Мальчик изо всех сил бежал по улице, чтобы не опоздать на урок.
В стихотворных строчках А.С. Пушкина слово "мчаться" употребляется в переносном смысле (о тучах говорится как об одушевленном предмете).
Волны, кипение, бурление и так далее.