Бояре, Iпотужи-В о государе и царице молодойI, в спальню к ней пришли толпой. Тут соседи беспокоить стали старого царя, Iстрашный вред ему твор-ЯI. Тут она,I взмахну-В крыламиI, полетела над волнами. Жеманный кот, Iна печке сид-ЯI, мурлыч-А, лапкой рыльце мыл. II - это выделены деепричастные обороты, нужно подчеркнуть штрих-пунктиром и наверху написать ДО цАрице (безударная гласная А, проверочное слово цАрь) мОлОдой (мОлодость, молОденький) тОлпой (тОлпы) пОлЕтела (классическая приставка ПО-, полЁт) над вОлнами (вОлны).
Бояре, потужив о государе и царице (царь) молодой (молодость, молоденький), в спальню к ней пришли толпой (толпы). - запятая стоит по причине деепричастного оборота "потужив о государе и царице молодой"; деепричастие - потужив, суффикс В.
Тут соседи беспокоить (корень начинается на глухую согласную П, значит приставка РАС) стали старого царя, страшный вред ему творя. - ДО "страшный вред ему творя", деепричастие - творя, суффикс Я.
Тут она, взмахнув крылами, полетела (приставка ПО неизменяемая, лётчик) над волнами (волны). - ДО "взмахнув крылами", деепричастие - взмахнув, суффикс В.
Жеманный кот, на печке сидя, мурлыча, лапкой рыльце мыл. - ДО "на печке сидя", деепричастие сидя, суффикс Я; деепричастие "мурлыча", суффикс А.
Рекордсмены - сказуемое (это слово не исполняет действий в смысле предложения)
Долголетия - дополнение
Черепахи - сказуемое
Они - подлежащее
Жиаут - сказуемое
300 лет - обстоятельство (тут не уверен)