1. По окончании школы многие выпускники поступили в институты и университеты.
Всё верно. Обычно частой ошибкой является написание по окончаниЮ.
2. Согласно сообщениЮ Гидрометцентра сегодня должно быть очень жарко.
Неправильное употребление падежной формы существительного с предлогом.
3. По приездЕ в Москву Пушкин встретился со своим другом Нащокиным.
Неправильное употребление падежной формы существительного с предлогом.
4. Только по возвращениИ домой я понял, насколько не хватало мне домашнего уюта.
Неправильное употребление падежной формы существительного с предлогом.
Для Паустовского главным в жизни стала профессия писателя, которую он выбрал в юношестве.
Красный Октябрь, Ледокол, Ласточка, Забава, Птичье молоко.