Эта задача решается при закона сохранения энергии. В начальной точке есть только отрицательная потенциальная энергия, а в любой промежуточной — еще и кинетическая.
(−GМ/r) + v2/2 = −GM / ro,
где М — масса Солнца, ro — начальное расстояние (радиус орбиты Земли), r — текущее расстояние, G — гравитационная постоянная, v (r) — скорость Земли.
Можно получить скорость, но не как функцию времени, а как функцию расстояния до Солнца. Причем скорость отрицательна, потому что мы ее здесь рассматриваем как производную расстояния по времени, а это расстояние с течением времени сокращается. Поэтому нужно взять отрицательный квадратный корень. Выражение имеет вид dr / dt = f (r). Его нужно записать чуть иначе, в виде dr / f(r) = dt. Потом проинтегрировать левую часть по rот ro и до нуля. А правая часть после интегрирования — это просто время t, которое мы ищем. Оно равно тому что получится в левой части. Интегрируем и получаем время. Интеграл несложный, есть в таблицах и онлайн тоже. Время удобно выразить через "нормальный" период вращения Земли T, получаем t = T / (4√2).
Это хорошо согласуется также и с Третьим законом Кеплера, которым здесь предлагают воспользоваться. Действительно, малая полуось эллипса падает до нуля, а большая уменьшается в два раза. Потому что большая ось целиком равна теперь радиусу земной орбиты, а полуось — половине этого радиуса. Ну а по закону Кеплера, если радиус падает в два раза, то период — в 2√2. Для падения нужна только половина периода, поэтому "время падения" на Солнце в 4√2 раз меньше периода вращения Земли. Приблизительно 65 дней.
Каждое лето я ездил к бабушке в деревня, на отдых. Моя бабушка, Клавдия Ивановна, очень милая старушка. В молодости она работала в кондитерской. За все годы пенсии, руки моей прекрасной бабушки не потеряли таланта печь самые вкусные на свете булочки. За каждое проведенное лето у бабушки, я толстел примерно на три килограмма. И вот я питался все то чудесное лето, пако до того самого случая не осталась неделя. Я со своими друзьями, решил отправится в лес, в поход. Ну и как всегда бабушка не выпустила меня из дома с целым рюкзаком булак. Шли мы с друзьями по лесу. Мне было очень не легко из-за моего съедобного груза. А есть совсем не хотелось часа три. Рюкзак стал значительно легче. Я не стал обращать на это внимания, так как думал, что это это привыкания. Через минут десять глава наша компании сказал: -Ребят, мы заблудились! Я не знаю куда дальше идти. Все сразу же устроили панику, особенно девочки. Никто не захотел идти назад или вперёд, так как могли ещё больше заблудиться. Решили ждать Тут я заметил, что на дне моего рюкзака дырка и половина булак выпала. Тут та мы догадались, что надо искать след из булак. Через четыре часа мы вернулись домой. Я сразу стал благодарить бабушки за то, что она дала мне эти чудесные булки. С тех пор, когда я иду в лес, то беру с собой бабушкину выпечку.
(−GМ/r) + v2/2 = −GM / ro,
где М — масса Солнца, ro — начальное расстояние (радиус орбиты Земли), r — текущее расстояние, G — гравитационная постоянная, v (r) — скорость Земли.
Можно получить скорость, но не как функцию времени, а как функцию расстояния до Солнца. Причем скорость отрицательна, потому что мы ее здесь рассматриваем как производную расстояния по времени, а это расстояние с течением времени сокращается. Поэтому нужно взять отрицательный квадратный корень. Выражение имеет вид dr / dt = f (r). Его нужно записать чуть иначе, в виде dr / f(r) = dt. Потом проинтегрировать левую часть по rот ro и до нуля. А правая часть после интегрирования — это просто время t, которое мы ищем. Оно равно тому что получится в левой части. Интегрируем и получаем время. Интеграл несложный, есть в таблицах и онлайн тоже. Время удобно выразить через "нормальный" период вращения Земли T, получаем t = T / (4√2).
Это хорошо согласуется также и с Третьим законом Кеплера, которым здесь предлагают воспользоваться. Действительно, малая полуось эллипса падает до нуля, а большая уменьшается в два раза. Потому что большая ось целиком равна теперь радиусу земной орбиты, а полуось — половине этого радиуса. Ну а по закону Кеплера, если радиус падает в два раза, то период — в 2√2. Для падения нужна только половина периода, поэтому "время падения" на Солнце в 4√2 раз меньше периода вращения Земли. Приблизительно 65 дней.