По лесУ ( по чему?) Д.п. дятел (кто?) И.п. на деревЕ (на чём?) П.п. на ствол (на что?) В.п. за корУ (за что?) В.п. коготкамИ(чем?)Т.п. на хвостик(на что?) В.п. по стволУ (по чему?) Д.п. деревА(чего?)Р.п. клювОМ (чем?) Т.п. дятел (кто?) И.п. деревО (что?) В.п. под корОЙ (под чем?)Т.п. вредителЯ (кого?) Р.п. деревьЯ(что?) - В.п.
Раздолбит(сказ.) дятел(подлеж.) дерево(дополн.), найдёт(сказ.)под корой(обстоят.) вредителя(дополн.) и съест(сказ.) Предложение осложнено однородными членами, выраженными сказыемыми.
