Ошибки в употреблении деепричастных оборотов исправлены
1) Слушая рассказы об этом периоде, меня поразила одна встреча, имеющая отношение к теме нашего разговора. ИСПРАВЛЕНО: Слушая рассказы об этом периоде, я вспомнил одну поразительную встречу, имеющую отношение к теме нашего разговора.
2) Не нарушая общего плана игры, ему разрешается проявлять больше инициативы. ИСПРАВЛЕНО: Он получил разрешение проявлять больше инициативы, не нарушая общего плана игры.
3) Используя ситуацию гласности, делается попытка бросить тень на саму же гласность, на демократизацию и перестройку. ИСПРАВЛЕНО: Используя ситуацию гласности, делают попытку бросить тень на саму же гласность, на демократизацию и перестройку.
4) Начав писать в это время, в его первых стихах четко выражены мотивы протеста и тоски. ИСПРАВЛЕНО: Начав писать в это время, он в своих первых же стихах четко выразил мотивы протеста и тоски.
5) Прочитав «Слово о полку Игореве», наше государство невольно представляется русским княжеством. ИСПРАВЛЕНО: После прочтения «Слова о полку Игореве» наше государство невольно представляется русским княжеством.