Хотя на первый взгляд может показаться, что у этих слов один корень с чередованием согласной (картоф/картош), это заблуждение. Если обратиться к «Новому словообразовательному словарю русского языка для всех, кто хочет быть грамотным» А.Н. Тихонова, то мы увидим, что в слове «картофель» корень слова — картофель. От него суффиксальным образовано слово картошка:
картофель → картош - к - а (корень картош, суффикс к)
Словообразовательный процесс усёк часть корня и сопровождался чередованием корневой согласной ф//ш.
Подошел, а там - крыжовник,
Капюшон чуть-чуть спустил,
Ноги в луже промочил,
Швы разъехались слегка,
Дома шомпол, а-та-та...