Question

Сколько будет 1*2+2*3+3*4+4*5 и так до ..+2019*2020? желательно полное решение
и по какому принципу вы это решали.умоляю вычислите

Answer 1

$1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+...+2019\cdot 2020=1\cdot (1+1)+2\cdot (2+1)+\\ \\ +3\cdot (3+1)+...+2019\cdot (2019+1)=\Big(1^2+2^2+3^2+...+2019^2\Big)+\\ \\ \\ +\Big(1+2+3+4...+2019\Big)~~ \boxed{=}$

Первая скобка это сумма квадратов натуральных чисел и для него имеет место известная формула $\displaystyle \sum^{n}_{k=1}k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$, а вторая скобка это арифметическая прогрессия с первым членом 1 и разностью d = 1: $\displaystyle \sum^{n}_{k=1}k=\dfrac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n=\dfrac{n(n+1)}{2}$

Для n = 2019 мы можем подсчитать нашу сумму, т.е.

$\boxed{=}~~ \dfrac{2019\cdot (2019+1)(2\cdot 2019+1)}{6}+\dfrac{2019\cdot (2019+1)}{2}=2747468660$

ответ: 2747468660.