Выразим все через функции половинного аргумента (2-a)*2sin(x/2)cos(x/2) + (2a+1)(cos^2(x/2)-sin^2(x/2)) < 25sin^2(x/2)+25cos^2(x/2) (4-2a)sin(x/2)cos(x/2) + cos^{2}(x/2)(2a+1-25) + sin^{2}(x/2)(-2a-1-25) < 0 Делим все на cos^2(x/2) (4-2a)*tg(x/2) + (2a-24) + (-2a-26)*tg^2(x/2) < 0 Делим все на -2, при этом меняется знак неравенства (a+13)*tg^2(x/2) - (2-a)*tg(x/2) - (a-12) > 0 1) При а = -13 будет -(2 + 13) tg(x/2) - (-13 - 12) > 0 -15 tg(x/2) +25 > 0 15tg(x/2) < 25 tg(x/2) < 5/3 -pi/2 + pi*k < x/2 < arctg(5/3) + pi*k x1 ∈ (-pi + 2pi*k; 2arctg(5/3) + 2pi*k)
2) При a=/= -13 будет квадратное неравенство относительно tg(x/2) Замена tg(x/2) = t (a+13)*t^2 - (2-a)*t - (a-12) > 0 D = b^2 - 4ac = (2-a)^2 - 4(a+13)(-(a-12)) = 4 - 4a + a^2 + 4(a^2+a-156) = = 5a^2 - 4*156 + 4 = 5a^2 - 620 = 5(a^2 - 124) = 5(a - √124)(a + √124) При D = 0, то есть при a = -√124 и при а = √124 слева будет полный квадрат, который больше 0 при любых t, кроме t = tg(x/2) =/= -b/(2a) = (2 - a)/(2a + 26) x21 =/= 2arctg [(2 + √124)/(-2√124 + 26)] + 2pi*n x22 =/= 2arctg [(2 - √124)/(2√124 + 26)] + 2pi*n 2 - √124 < 0, а 26 - 2√124 > 0, поэтому x22 < x21 x2 ∈ (-pi + 2pi*n; x22) U (x22; x21) U (x21; pi + 2pi*n)
3) При D > 0, то есть при a < -√124 U a > √124 будет t1 = tg(x/2) = (2-a - √(5a^2 - 620) ) / (2a + 26) x31 = 2arctg [(2-a - √(5a^2 - 620) ) / (2a + 26)] + 2pi*m t2 = tg(x/2) = (2-a + √(5a^2 - 620) ) / (2a + 26) x32 = 2arctg [(2-a + √(5a^2 - 620) ) / (2a + 26)] + 2pi*m x3 ∈ (-pi + 2pi*m; x31) U (x32; pi + 2pi*m)
4) При D < 0, то есть при -√124 < a < √124 будет вот что. У уравнения слева корней нет, поэтому неравенство верно при любом t, то есть при всех x, при которых определен tg(x/2) x4 ∈ (-pi + 2pi*h; pi + 2pi*h)
ответ: При а = -13 x1 ∈ (-pi + 2pi*k; 2arctg(5/3) + 2pi*k) При a = -√124 и при а = √124 x21 =/= 2arctg [(2 + √124)/(-2√124 + 26)] + 2pi*n x22 =/= 2arctg [(2 - √124)/(2√124 + 26)] + 2pi*n x2 ∈ (-pi + 2pi*n; x22) U (x22; x21) U (x21; pi + 2pi*n) При a < -13 U -13 < a < -√124 U a > √124 x31 = 2arctg [(2-a - √(5a^2 - 620) ) / (2a + 26)] + 2pi*m x32 = 2arctg [(2-a + √(5a^2 - 620) ) / (2a + 26)] + 2pi*m x3 ∈ (-pi + 2pi*m; x31) U (x32; pi + 2pi*m) При -√124 < a < √124 x4 ∈ (-pi + 2pi*h; pi + 2pi*h)
Очевидно что все х1, х2, х3, х4 одновременно отрицательными быть не могут, тогда в левой части было отрицательное число.
очевидно что ни один из х1, х2, х3, х4 не может быть 0, (остальные тогда должны равняться 2, и 0+2*2*2=2 неверное, противоречие)
домножая первое на х1, второе на х2, третье на х3, четвертое на х4, получим
вычитая (и используя разность квадратов) получим откуда или
аналогично получаем другие соотношения таких же двух возможных типов соотношений между корнями
итого в общем надо рассмотреть следующие возможные комбинации (остальные дадут повтор в силу симметрии записи уравнений по переменным), + первое исходное уравнение можем убедиться что (1,1,1,1) - единственное решение
(2-a)*2sin(x/2)cos(x/2) + (2a+1)(cos^2(x/2)-sin^2(x/2)) < 25sin^2(x/2)+25cos^2(x/2)
(4-2a)sin(x/2)cos(x/2) + cos^{2}(x/2)(2a+1-25) + sin^{2}(x/2)(-2a-1-25) < 0
Делим все на cos^2(x/2)
(4-2a)*tg(x/2) + (2a-24) + (-2a-26)*tg^2(x/2) < 0
Делим все на -2, при этом меняется знак неравенства
(a+13)*tg^2(x/2) - (2-a)*tg(x/2) - (a-12) > 0
1) При а = -13 будет
-(2 + 13) tg(x/2) - (-13 - 12) > 0
-15 tg(x/2) +25 > 0
15tg(x/2) < 25
tg(x/2) < 5/3
-pi/2 + pi*k < x/2 < arctg(5/3) + pi*k
x1 ∈ (-pi + 2pi*k; 2arctg(5/3) + 2pi*k)
2) При a=/= -13 будет квадратное неравенство относительно tg(x/2)
Замена tg(x/2) = t
(a+13)*t^2 - (2-a)*t - (a-12) > 0
D = b^2 - 4ac = (2-a)^2 - 4(a+13)(-(a-12)) = 4 - 4a + a^2 + 4(a^2+a-156) =
= 5a^2 - 4*156 + 4 = 5a^2 - 620 = 5(a^2 - 124) = 5(a - √124)(a + √124)
При D = 0, то есть при a = -√124 и при а = √124 слева будет полный квадрат, который больше 0 при любых t, кроме
t = tg(x/2) =/= -b/(2a) = (2 - a)/(2a + 26)
x21 =/= 2arctg [(2 + √124)/(-2√124 + 26)] + 2pi*n
x22 =/= 2arctg [(2 - √124)/(2√124 + 26)] + 2pi*n
2 - √124 < 0, а 26 - 2√124 > 0, поэтому x22 < x21
x2 ∈ (-pi + 2pi*n; x22) U (x22; x21) U (x21; pi + 2pi*n)
3) При D > 0, то есть при a < -√124 U a > √124 будет
t1 = tg(x/2) = (2-a - √(5a^2 - 620) ) / (2a + 26)
x31 = 2arctg [(2-a - √(5a^2 - 620) ) / (2a + 26)] + 2pi*m
t2 = tg(x/2) = (2-a + √(5a^2 - 620) ) / (2a + 26)
x32 = 2arctg [(2-a + √(5a^2 - 620) ) / (2a + 26)] + 2pi*m
x3 ∈ (-pi + 2pi*m; x31) U (x32; pi + 2pi*m)
4) При D < 0, то есть при -√124 < a < √124 будет вот что.
У уравнения слева корней нет, поэтому неравенство верно при любом t,
то есть при всех x, при которых определен tg(x/2)
x4 ∈ (-pi + 2pi*h; pi + 2pi*h)
ответ: При а = -13 x1 ∈ (-pi + 2pi*k; 2arctg(5/3) + 2pi*k)
При a = -√124 и при а = √124
x21 =/= 2arctg [(2 + √124)/(-2√124 + 26)] + 2pi*n
x22 =/= 2arctg [(2 - √124)/(2√124 + 26)] + 2pi*n
x2 ∈ (-pi + 2pi*n; x22) U (x22; x21) U (x21; pi + 2pi*n)
При a < -13 U -13 < a < -√124 U a > √124
x31 = 2arctg [(2-a - √(5a^2 - 620) ) / (2a + 26)] + 2pi*m
x32 = 2arctg [(2-a + √(5a^2 - 620) ) / (2a + 26)] + 2pi*m
x3 ∈ (-pi + 2pi*m; x31) U (x32; pi + 2pi*m)
При -√124 < a < √124
x4 ∈ (-pi + 2pi*h; pi + 2pi*h)
Очень непростое неравенство получилось.