Question

Y''+4xy'+(2+4x^2)y=0 дифф урав решать?

Answer 1

Если дифференциальное уравнение представлено в форме

$y''+f(x)y'+y(x)g(x)=F(x)$, то для него используется замена

$y=\displaystyle \exp\left\{\int\frac{f(x)}{2}dx\right\}v(x)$, которая устранит термин первого порядка.

Это замена формы $y(x)=\mu (x)v(x)$

Положим $\mu (x)=\exp\left\{\displaystyle \int -2xdx\right\}=e^{-x^2}$ и подставив замену $y=e^{-x^2}v(x)$, получим

$e^{-x^2}v''-4e^{-x^2}\cdot xv'+4x\left(e^{-x^2}v'-2e^{-x^2}xv\right)+\\ \\ +\left(-2e^{-x^2}+4e^{-x^2}x^2\right)v+2e^{-x^2}(2x^2+1)v=0\\ \\ \\ e^{-x^2}\cdot v''+\left(-2e^{-x^2}-4e^{-x^2}\cdot x^2+2e^{-x^2}(2x^2+1)\right)v=0\\ \\ \\ e^{-x^2}\cdot v''=0\\ \\ \\ v''=0\\ \\ v'=C_1\\ \\ v=\displaystyle \int C_1dx=C_1x+C_2$

Возвращаемся к обратной замене

$y=e^{-x^2}\Big(C_1x+C_2\Big)$ — общее решение диф. уравнения