Question

Вычислить интеграл ∫xsinx²dx так, чтобы было понятно, что откуда взялось

Answer 1

Обозначим данный интеграл буквой I.

$I=\int x\sin (x^2)\ dx=\int \sin (x^2)\cdot xdx$

Обратим внимание на конструкцию $xdx=\frac{1}{2}\ d(x^2)$

Тогда интеграл примет вид:

$I=\int \sin (x^2)\cdot \frac{1}{2} d(x^2)=\frac{1}{2}\int \sin (x^2)d(x^2)$

Теперь для удобства заменим x² = t:

$I=\frac{1}{2}\int \sin t\ dt=-\frac{1}{2}\cos t+C$

Вернемся к переменной х:

$I=-\frac{1}{2}\cos (x^2)+C$

ответ: $-\frac{1}{2}\cos x^2+C.$