Формулы Виета — формулы, связывающие коэффициенты многочлена и его корни.
Этими формулами удобно пользоваться для проверки правильности нахождения корней многочлена, а также для составления многочлена по заданным корням.
Эти тождества неявно присутствуют в работах Франсуа Виета. Однако Виет рассматривал только положительные вещественные корни, поэтому у него не было возможности записать эти формулы в общем виде.[1]:138—139
Если {\displaystyle c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n}} — корни многочлена
{\displaystyle x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\ldots +a_{n}}
(каждый корень взят соответствующее его кратности число раз), то коэффициенты {\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}} выражаются в виде симметрических многочленов от корней[2], а именно:
{\textstyle {\begin{aligned}a_{1}&=-(c_{1}+c_{2}+\ldots +c_{n}),\\a_{2}&=c_{1}c_{2}+c_{1}c_{3}+\ldots +c_{1}c_{n}+c_{2}c_{3}+\ldots +c_{n-1}c_{n},\\a_{3}&=-(c_{1}c_{2}c_{3}+c_{1}c_{2}c_{4}+\ldots +c_{n-2}c_{n-1}c_{n}),\\&~~\vdots \\a_{n-1}&=(-1)^{n-1}(c_{1}c_{2}\ldots c_{n-1}+c_{1}c_{2}\ldots c_{n-2}c_{n}+\ldots +c_{2}c_{3}...c_{n}),\\a_{n}&=(-1)^{n}c_{1}c_{2}\ldots c_{n}.\end{aligned}}}
Иначе говоря, {\displaystyle (-1)^{k}a_{k}} равно сумме всех возможных произведений из {\displaystyle k} корней.
Следствие: из последней формулы Виета следует, что если корни многочлена целочисленные, то они являются делителями его свободного члена, который также целочисленный.
Если старший коэффициент многочлена не равен единице:
то для применения формулы Виета необходимо предварительно разделить все коэффициенты на {\displaystyle a_{0}} (это не влияет на значения корней многочлена). В этом случае формулы Виета дают выражение для отношений всех коэффициентов к старшему:
{\displaystyle {\frac {a_{k}}{a_{0}}}=(-1)^{k}\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leqslant n}c_{i_{1}}c_{i_{2}}\dots c_{i_{k}},\quad k=1,2,\dots ,n.}
Доказательство осуществляется рассмотрением равенства, полученного разложением многочлена по корням, учитывая, что {\displaystyle a_{0}=1}
{\displaystyle x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\ldots +a_{n}=(x-c_{1})(x-c_{2})\cdots (x-c_{n}).}
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях {\displaystyle x} (теорема единственности), получаем формулы Виета.
Винберг Э. Б. Алгебра многочленов. Учебное пособие для студентов-заочников III—IV курсов физико-математических факультетов педагогических институтов. — М.: Просвещение, 1980.Weisstein, Eric W. Vieta's Formulas / From MathWorld--A Wolfram Web Resource (англ.)Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Viète theorem" (недоступная ссылка), Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 (англ.)Funkhouser, H. Gray (1930), "A short account of the history of symmetric functions of roots of equations", American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) 37 (7): 357–365, doi:10.2307/2299273, JSTOR 2299273 (англ.)
ответ:Рамаяна – это древнеиндийский рассказ Вальмики о совместных приключениях божественной пары, где Вишну представлен в воплощении царя Рамы, а Лакшми — царской жены Ситы. Предлагаем прочитать короткое содержание «Рамаяны» — древнеиндийской героической поэмы.
В противоположность «Махабхарате», к которой прилагаются эпитеты итихаса (легенда, сага) и пурана (былина), Рамаяна относится к кавья, то есть к искусственным поэмам. Обыкновенно предполагается, что сюжет «Рамаяны» имеет характер аллегорический и изображает под видом подвигов Рамы распространение индоарийских племён на юг Индии до острова Шри-Ланка; но нет ничего невероятного в предположении, что в основу этой аллегорической легенды был положен какой-то древний миф.
Альбрехт Вебер
Будем решать уравнение как квадратное относительно...
Допустим, относительно х. То есть представим себе, что х - переменная, а у - какое-то число, как 2,-1 и т.д. И оперировать будем с у, как с обычным числом, то есть в квадратном уравнении он будет участвовать в формировании коэффициентов a,b,c. Приведем уравнение к красивому виду.
Дискриминант получился полным квадратом, естественно, не случайно. В таких заданиях обычно (но не всегда) дают линейные зависимости, которые мы чуть позже получим.
Чтобы построить график уравнения, нужно выразить y через x. Со вторым иксом нам повезло, выражать ничего не надо, да и в первом не сильно сложно
То есть имеем
Соответственно, решением уравнения является объединение множеств точек, задаваемых этими двумя зависимостями.
График будет приложен.
А теперь ради интереса проделаем все то же самое, но относительно y (умножим уравнение на -1)
Получили то же самое, чего и следовало ожидать.
А вообще, это лишь частный случай и, по идее, тут и простым разложением на множители можно это сделать.
А вообще, это гораздо более общая задача, если уж обратиться к аналитической геометрии. Так как есть общее уравнение линии второго порядка
Есть теорема о приведении уравнения такого вида к одному из 9 канонических случаев. Это может быть: 1) эллипс, 2) гипербола, 3) парабола, 4) мнимый эллипс, 5) пара пересекающихся прямых, 6) пара мнимых пересекающихся прямых, 7) пара параллельных прямых, 8) пара мнимых параллельных прямых, 9) пара совпавших прямых.
Вот их уравнения по порядку. Причем это в новой системе координат, которая является результатом аффинных преобразований - поворота и переноса исходной системы координат. Если не углубляться в квадратичные формы, то нужно уметь считать определители и решать простенькие системы уравнений и немного знать тригонометрию. Координаты, угол и вид через большое количество действий вычисляются.
Если же идти через квадратичные формы, то там уже надо знать линейную алгебру (помимо определителей, обратных матриц, надо знать, как составлять матрицу квадратичной формы, знать про собственные вектора матрицы, уметь делать переходы к новому базису и т.д. и сделать можно в итоге через метод Лагранжа, а можно и через ортогональное преобразование).
То есть данная задача хороша на применение различных методов, которые были в свое время разработаны.
(P.S. цвета на графике разные, потому что просто хотел показать, где какая прямая, так как объединение множеств, то должно быть, по-хорошему, одного цвета)