Заметим, что для двух неравных натуральных чисел n < m наибольший общий делитель не превышает [m/2], где квадратные скобки означают округление вниз до ближайщего целого. Тогда среди всех чисел, меньших 100, наибольшие общие делители могут принимать значения от 1 до 49 — всего 49 вариантов. Так как синих чисел как раз 49, то каждое число от 1 до 49 написано по разу.
Простые числа 41, 43 и 47 должны быть написаны синим. Существует только один получить такие числа: надо написать рядом красные 41 и 82, 43 и 86, 47 и 94. Поскольку все остальные числа взаимно просты с 41, 43 и 47, то радом с красными 41, 43 и 47 будут написаны по синей единице, и синих единиц будет не меньше двух.
Если число кратно 99, то оно делится на 9 и 11. Признак делимости на 9: Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Признак делимости на 11: Число делится на 11, если разность сумм цифр, стоящих на чётных и нечётных местазх делится на 11.
Сумма цифр числа должна делиться на 9. В наименьшем числе количество цифр наименьшее, пробуем набрать сумму, кратную 9, наименьшим числом слагаемых.
1) Сумма 9 — нечётное число. Тогда среди сумм цифр, стоящих на чётном и нечётном местах, одна чётная сумма и одна нечётная, каждая сумма не превосходит 9, тогда и разность не превосходит 9. Ни одно нечётное натуральное число, не большее 9, не делится на 11, так что ни одно число не будет делиться на 11.
2) Сумма 18. Есть один вариант разбиения на две суммы, разность которых делится на 11: 18 = 9 + 9. На то, чтобы получить сумму 9, нужно не менее 5 цифр, причём подойдёт только один вариант 9 = 2 + 2 + 2 + 2 + 1. Так что если надо получить число, содержащее не больше 10 цифр, то на чётных местах и нечётных местах должны стоять по 4 двойки и одной единице. Чтобы число было наименьшим, единицы должны стоять раньше двоек. Получаем число 1122222222.
3) Сумма не меньше 27, тогда цифр нужно не меньше 14, поэтому все числа будут больше найденного.
Заметим, что для двух неравных натуральных чисел n < m наибольший общий делитель не превышает [m/2], где квадратные скобки означают округление вниз до ближайщего целого. Тогда среди всех чисел, меньших 100, наибольшие общие делители могут принимать значения от 1 до 49 — всего 49 вариантов. Так как синих чисел как раз 49, то каждое число от 1 до 49 написано по разу.
Простые числа 41, 43 и 47 должны быть написаны синим. Существует только один получить такие числа: надо написать рядом красные 41 и 82, 43 и 86, 47 и 94. Поскольку все остальные числа взаимно просты с 41, 43 и 47, то радом с красными 41, 43 и 47 будут написаны по синей единице, и синих единиц будет не меньше двух.