Question

Решить дифференциональное уравнение y`+xy+x=0 при x=0, при у=1

Answer 1

$y'+x(y+1)=0\\ \\ y'=-x(y+1)$

Дифференциальное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными.

$\displaystyle \dfrac{dy}{dx}=-x(y+1)~~~\Rightarrow~~\int \dfrac{dy}{y+1}=-\int xdx~~~\Rightarrow~~~ \ln|y+1|=-\dfrac{x^2}{2}+C\\ \\ \\ y+1=e^{-\frac{x^2}{2}+C}\\ \\ \\ y=Ce^{-\frac{x^2}{2}}-1$

Получили общее решение.

Найдем теперь частное решение, подставляя начальные условия

$1=Ce^{-\frac{0^2}{2}}-1~~~\Rightarrow~~~ C=2$

Частное решение: $y=2e^{-\frac{x^2}{2}}-1$