Question

вычислить предел xn= √5√5√
​

Answer 1

5

Объяснение:

Без доказательства существования предела.

Пусть искомое значение выражения равно $x=\sqrt{5\sqrt{5\sqrt{5\sqrt{...} } } }$. Заметим, что оно так же равно $\sqrt{5x}$, ведь вместо x можно подставить бесконечный корень. Тогда получим, что $x=\sqrt{5x}$. Сократим на $\sqrt{x} \neq 0$ и получим $\sqrt{x} = \sqrt{5}$, откуда x=5.

С геометрической прогрессии

$\sqrt{5\sqrt{5\sqrt{5\sqrt{5\sqrt{...} } } } }=\sqrt{5}*\sqrt[4]{5\sqrt{5\sqrt{5\sqrt{... } } } }=\sqrt{5}*\sqrt[4]{5}*\sqrt[8]{5\sqrt{5\sqrt{...} } }=\sqrt{5}*\sqrt[4]{5}*\sqrt[8]{5}\sqrt[16]{5\sqrt{...} }=\sqrt{5}*\sqrt[4]{5}*\sqrt[8]{5}*\sqrt[16]{5}*\sqrt[32]{5...}=5^{1/2}*5^{1/4}*5^{1/8}*5^{1/16}*...=5^{1/2+1/4+18+1/16+...}=5^1=5$

$s=1/2+1/4+18+1/16+...=\frac{1/2}{1-1/2} =1$ - сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.