Question

На прямой, в точке 0, сидит блоха. каждый момент времени она прыгает в любом направлении (взад и вперед) на 2010 или 1447. в каких точках она может оказаться?

Answer 1

Чтобы ответить на вопрос, мы должны разобраться в двух вещах: как будет меняться положение блохи после каждого прыжка и какие точки могут быть достигнуты.

1. Изначально блоха находится в точке 0.
2. Первым прыжком блоха может переместиться на 2010 или на 1447. Таким образом, она может оказаться в точках -2010, 1447 или 2010.
3. Вторым прыжком блоха может переместиться на 2010 или на 1447, независимо от предыдущего прыжка.

Теперь рассмотрим случаи для каждого возможного положения блохи:

1. Блоха находится в точке -2010:
- Третьим прыжком блоха может переместиться на -2010 + 2010 = 0 или на -2010 + 1447 = -569.
- Четвертым прыжком она может переместиться на -569 + 2010 = 1441 или на -569 + 1447 = 878.
- Пятым прыжком блоха может переместиться на 1441 + 2010 = 3451 или на 878 + 1447 = 2325.

2. Блоха находится в точке 0:
- Третьим прыжком блоха может переместиться на 0 + 2010 = 2010 или на 0 + 1447 = 1447.
- Четвертым прыжком она может переместиться на 2010 + 2010 = 4020 или на 1447 + 1447 = 2894.

3. Блоха находится в точке 1447:
- Третьим прыжком блоха может переместиться на 1447 + 2010 = 3457 или на 1447 + 1447 = 2894.
- Четвертым прыжком она может переместиться на 3457 + 2010 = 5467 или на 2894 + 1447 = 4341.

Итак, блоха может оказаться в точках -2010, -569, 0, 1441, 878, 2010, 1447, 3451, 2325, 4020, 2894, 3457, 2325, 5467 и 4341 после некоторого количества прыжков.

Обоснование: Каждый прыжок блохи определяется суммой чисел 2010 и 1447, которые являются взаимно простыми. Используя теорию чисел, мы можем доказать, что любое натуральное число, начиная с некоторого момента, может быть представлено в виде суммы 2010 и 1447. Это означает, что блоха может достичь любой точки на числовой прямой, начиная с некоторого момента.