Рассмотрим два числа A и В
Пусть A=a²+b² B=c²+d² Надо доказать что A*B=x²+z²
A*B=(a²+b²)*(c²+d²)=a²c² + a²d² + b²c² + b²d² = (a²c² + b²d²) + (a²d² + b²c²) + 2*abcd - 2*abcd = *
1. * = (a²c² +2*ac*bd +b²d²) + (a²d² - 2*ad*bc+ b²c²) = (ac + bd)² + (ad - bc)²
2. *= (a²c² - 2*ac*bd +b²d²) + (a²d² + 2*ad*cd+ b²c²) = (ac - bd)² + (ad + bc)²
Таким образом нашли x₁₂ = ac + - bd и z₁₂ = ad - + bc
доказали что если каждое из двух чисел представимо в виде суммы квадратов двух натуральных чисел, то их произведение также можно разложить в сумму квадратов двух целых чисел
Воспользуемся формулой разности косинусов:
cos4x-cos5x = 0
-2*sin((4x+5x)/2)*sin((4x-5x)/2)=0
-2*sin(9x/2)*sin(-x/2)=0
2*sin(9x/2)*sin(x/2)=0
sin(9x/2)*sin(x/2)=0
sin(9x/2)=0
sin(x/2) =0
Решим уравнение sin(9x/2)=0
9x/2 = пn, n∈Z
х = 2пn/9, n∈Z
Решим уравнение sin(x/2)=0
x/2 = пk, k∈Z
х = 2пk, k∈Z
ответ: 2пn/9, n∈Z;2пk, k∈Z.
Объяснение: