Question

Нужно составить уравнение окружности

Answer 1

${(x + 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 20$

Объяснение:

заданная точка принадлежит прямой

$2x + y - 5 = 0$

перпендикуляры к заданным прямым будут описываться формулой соответственно:

$y = \frac{1}{2} x + b1 \\ y = \frac{1}{2} x + b2$

так как коэффициенты при x одинаковы, сами прямые и их перпендикуляры параллельны, поэтому перпендикуляр проходящий через точку (2,1) будет проходит через центр окружности и пересекать точку касания первой прямой. уравнение этого перпендикуляра найдем подставив x и y

$1 = \frac{1}{2} \times 2 + b2 \\ b2 = 0$

значит перпендикуляр пересекающий точки касания и центр окружности

$y = \frac{x}{2}$

точка касания первой прямой:

$2x + \frac{x}{2} + 15 = 0 \\ 5x = - 30 \\ x = - 6 \\ y = - 3$

тогда центр окружности лежит посредине двух точек касания и получаем:

$x_{c} = \frac{x1 + x2}{2} = \frac{2 - 6}{2} = - 2 \\ y_{c} = \frac{y1 + y2}{2} = \frac{1 - 3}{2} = - 1$

расстояние между этими точками равно двум радиусам, поэтому:

$r = \frac{ \sqrt{{(x1 - x2)}^{2} + {(y1 - y2)}^{2} } }{2} = \\ = \frac{ \sqrt{ {(2 + 6)}^{2} + {(1 + 3)}^{2} } }{2} = \frac{ \sqrt{80} }{2} = 2 \sqrt{5}$

поэтому уравнение окружности:

${(x - ( - 2))}^{2} + {(y - ( - 1))}^{2} = {(2 \sqrt{5} )}^{2} \\ {(x + 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 20$