Question

Решить уравнение 2x^3 - 11x^2 + 12x + 9 = 0
методом кордано

Answer 1

Для решения данного уравнения методом Кардано, сначала определим замену переменной. Пусть y = x - (11/6). Тогда уравнение может быть переписано в виде:

2(y + (11/6))^3 - 11(y + (11/6))^2 + 12(y + (11/6)) + 9 = 0.

Раскроем скобки и сократим коэффициенты:

2(y^3 + (11/2)y^2 + (121/12)y + (1331/216)) - 11(y^2 + (11/3)y + (121/36)) + 12(y + (11/6)) + 9 = 0,

2y^3 + (22/3)y^2 + (121/18)y + (6655/108) - 11y^2 - (121/3)y - (1331/36) + 12y + 22 + 9 = 0,

2y^3 - (11/3)y^2 - (22/9)y + (607/108) = 0.

Теперь проведем дополнительную замену переменной, чтобы упростить уравнение. Пусть z = 6y. Тогда уравнение примет следующий вид:

2(6z)^3 - (11/3)(6z)^2 - (22/9)(6z) + (607/108) = 0,

432z^3 - 792z^2 - 396z + 607 = 0.

Заметим, что данное уравнение выражено в кубической форме: ax^3 + bx^2 + cx + d = 0. Теперь мы можем использовать метод Кардано.

1. Найдем значение дискриминанта по формуле: Δ = (18abcd - 4b^3d + b^2c^2 - 4ac^3 - 27a^2d^2)/4.

В нашем случае: a = 432, b = -792, c = -396 и d = 607. Подставим эти значения в формулу:

Δ = (18 * 432 * (-792) * (-396) - 4 * (-792)^3 * 607 + (-792)^2 * (-396)^2 - 4 * 432 * (-396)^3 - 27 * (432)^2 * 607^2)/4,

Δ = -15418606720.

2. Теперь найдем кубический корень из дискриминанта: ∛(-Δ).

В нашем случае: ∛(-Δ) = ∛(-(-15418606720)) = ∛15418606720 ≈ 2445.

3. Найдем коэффициенты q и p по формулам: q = (3ac - b^2)/9a^2 и p = (9abc - 27a^2d - 2b^3)/(54a^3).

В нашем случае: q = (3 * 432 * (-396) - (-792)^2)/(9 * (432)^2) ≈ 0.089, p = (9 * 432 * (-792) - 27 * (432)^2 * 607 - 2 * (-792)^3)/(54 * (432)^3) ≈ 0.025.

4. Найдем значения u и v по формулам: u = ∛(-q/2 + √(q^2/4 + p^3/27)) и v = ∛(-q/2 - √(q^2/4 + p^3/27)).

В нашем случае: u = ∛(-0.089/2 + √(0.089^2/4 + 0.025^3/27)) ≈ 0.463 и v = ∛(-0.089/2 - √(0.089^2/4 + 0.025^3/27)) ≈ -2.8.

5. Наконец, найдем значения x по формулам: x1 = u + v - b/(3a), x2 = -(u + v)/2 - b/(3a) + (i√3)(u - v)/2 и x3 = -(u + v)/2 - b/(3a) - (i√3)(u - v)/2.

В нашем случае: x1 = 0.463 + (-2.8) - (-792)/(3 * 432) ≈ -2.07, x2 = -((0.463 + (-2.8))/2) - (-792)/(3 * 432) + (i√3)((0.463 - (-2.8))/2) ≈ 0.55 + 1.59i и x3 = -((0.463 + (-2.8))/2) - (-792)/(3 * 432) - (i√3)((0.463 - (-2.8))/2) ≈ 0.55 - 1.59i.

Таким образом, решением уравнения 2x^3 - 11x^2 + 12x + 9 = 0 методом Кардано являются: x1 ≈ -2.07, x2 ≈ 0.55 + 1.59i и x3 ≈ 0.55 - 1.59i.